老王的夢田

關於課本第三章綜合習題挑戰題第7題，書上直接給提示，沒說明原因；我在課堂上講解過，但是改習作時，覺得還是很多人不清楚，所以在此仔細說明。

師大數學系 許志農 教授在以前給龍騰寫課本時，也幫龍騰編一本期刊—數學新天地，在裡面有個徵答專欄，後來整理成問題集，放在 許 老師的個人網站，其中第一集的第四題也跟這題本質上一樣。
另外，在《毛起來說三角》一書中，提到雷吉蒙塔努斯（Regiomontanus），在1471年給厄爾福特大學的 羅德 教授的信中，提到一個問題：『一根倒懸的直竿，在地面上哪一點看起來最大？』也是相同的問題。

把問題整理如下：

一線段AB垂直於地面L上方，求在L上一點P，使得∠APB最大。

書上給的提示是過A、B作圓且與L切於P，則P為所求。

好，為什麼？

其實阿扶的想法滿好的：直觀上來看，過P、A、B三點可以做一個圓，現在弦AB是固定的，由於圓周角相等，所以把AB放在正對面來看，顯然距離越近視角越大，但是又必須與L有交點，所以是在相切的時候有最大值。

雖然我欣賞這個想法，但是我還是必須跟他說，這個不能算是「證明」，必須把這想法化為數學形式。

在不知道提示的情況下，可以用《毛起來說三角》一書中所提的微積分的方式找到答案；當我們知道答案時，只要證明這個結果是對的就好。

幾何的形式其實滿簡單的，我們先作出過A、B並且和L相切的圓（這樣的圓有兩個，但是因為AB垂直L，由對稱性知道兩圓是相等的），令切點為P，在L上另取一點Q，連接QA和QB，假設線段QA(或是線段QB)和圓交於D，則
∠ADB＝∠APB
但是∠ADB是三角形DQB的外角，所以
∠ADB＞∠AQB
也就是∠APB＞∠AQB恒成立
因此P為所求

注意：若直線AB和L的交點為C，求CP長，這時要用圓冪定理比較方便，也就是CP²＝CA×CB。然而習作上這樣寫的沒幾人。

如果AB跟L不垂直呢？這問題在我91年考建中時出現，那時還沒看過這種問題，反正是填充題，當下就當成垂直，設座標後，用微積分方法把答案算出來。可是如果知道提示，解這題三秒就夠了。不管是要參加競賽或是考教師甄試，多看書是有幫助的。

不垂直的情況下，如果AB和L也不平行，過A、B並且和L相切的圓還是有兩個，哪一個對呢？畫完圖可以看出來，是半徑比較小的那個。你能證明嗎？

參考資料：

1.        《毛起來說三角》，Eli Maor注，胡守仁譯，天下文化。

2.        師父中的師父網站http://math.ntnu.edu.tw/~maco/

3.        數學新天地問題集，許志農