老王的夢田

向量符號太麻煩了，所以底下都代表向量。

基本性質:

如果G是三角形ABC的重心，那麼GA+GB+GC=O

這跟OG=(OA+OB+OB)/3  或是 AG=(1/3)AB+(1/3)AC

都是等價的。

反過來說，如果滿足PA+PB+PC=O或是另外兩式的P點，就是三角形ABC的重心。

重心的另一個性質就是(GBC)=(GCA)=(GAB)

於是都會有這種問題:

若三角形ABC內部一點P，滿足k*PA+m*PB+n*PC=O

求證(PBC):(PCA):(PAB)=k:m:n

通常我們會造PD=k*PA，PE=m*PB，PF=n*PC

條件變成PD+PE+PF=O

P為三角形DEF的重心

(PEF)=(PFD)=(PDE)

mn(PBC)=nk(PCA)=km(PAB)

(PBC)/k=(PCA)/m=(PAB)/n

(PBC):(PCA):(PAB)=k:m:n

也可以這樣想:

延長AP交BC於X，可以設(-x)*PX=PA

就有kxPX=mPB+nPC

PX=(m/kx)PB+(n/kx)PC

於是線段比BX/XC=n/m

就有面積比(PAB)/(PAC)=n/m

同理得到

(PBC):(PCA):(PAB)=k:m:n

衍生問題:

我們在桌角三點A、B、C設立一個滑輪，各自用線綁上質量為a、b、c的物體，三條線的另一端綁在一起，問到達平恆時，三條線綁在一起的點會在哪裡??