老王的夢田

非標準的圓錐曲線方程式

說真的，我實在不知道要不要發這一篇，我不在乎誰拿去當他的成果，但是我怕流入某些補習班或是參考書手裡時，以後就會在講義或參考書中看到這些題型。不過兩年前我在全教會選聘網就發表過這個想法了，只希望看到的人不要在高二就教學生；至今沒在參考書上看到，所以我認為還好；再加上高三已經把座標軸平移旋轉刪掉了，所以就教你們吧。

其實基本想法很簡單，我在龍騰的刊物上也有看到有人以「圓錐曲線的準標準式」為題發表類似看法，不過我想他只是從平移旋轉後的結果看出來，不像我接下來要講的。

回想平面點坐標的定法是什麼？

x表點到y軸的距離，y表點到x軸的距離，以及我們給予方向(正負號)。

接著我們才操作x和y，完成一些代數運算。

非標準的圓錐曲線，我們一般是說他是「斜的」，也就是它的對稱軸與座標軸不平行。如果我們重新設定座標系，把它的對稱軸當成座標軸，不就變成標準的（正的）嗎？這就是坐標軸平移旋轉的想法，轉成正的之後就知道它的一些基本資料，如它是哪種錐線？焦點距離，長短軸，等等，只是此時座標是相對於新的座標系，必須換回原來的座標系才行。但是要去做旋轉，其實是很討厭的。如果我們事先知道新的座標軸關於原來座標的方程式，就可以直接寫出方程式。

雙曲線與之類似，而拋物線因為標準式中有一次項，所以必須考慮去絕對值，就必須考慮方向。一般我們習慣逆時針旋轉，且旋轉角是銳角，所以四個象限就應該在右上、左上、左下、右下。兩線垂直，其斜率必然一正一負（請不要白目的問說如果斜率是0怎麼辦？），於是我們就規定：

1.        斜率為負的那條直線為x軸

2.        x軸方程式中x項的係數為負

3.        y軸方程式中x項和y項的係數為正

如此便如我們要求的方向了。

【例題1】

設一拋物線的對稱軸為直線y＝x，且通過A(1,0)、 B(0,1) 、C(1,1) 三點，試求這拋物線的方程式。

【解】

因為C在對稱軸上，所以C是頂點，

於是以－x＋y＝0為x軸；x＋y－2＝0為y軸，

由A點位置看出開口向左，假設拋物線方程式為

[(－x＋y)/√2]²＝－4c(x＋y－2)/√2

將(1,0)代入得到－4c/√2＝－1/2

故為(－x＋y)²＝－(x＋y－2)

展開得x²－2xy＋y²＋x＋y－2＝0

至於給一般式要如何化成這種形式，還是要用座標軸平移旋轉會比較好。