老王的夢田

垂直切線的交點軌跡

給定一個圓錐曲線，過點P作兩條切線，若此兩切線互相垂直，要求P的軌跡。由拋物線的性質知道，這個軌跡是準線。接著要討論橢圓和雙曲線。

【命題】橢圓的垂直切線的交點軌跡是一個圓

【證明】

給定橢圓x²/a²＋y²/b²＝1，若P(x,y)所做的切線互相垂直，求P的軌跡。

假定切線的斜率為m與－1/m

那麼切線就為y＝mx±√(a²m²＋b²)，與y＝(－1/m)x±√(a²/m²＋b²)

y－mx＝±√(a²m²＋b²)

y²－2mxy＋m²x²＝a²m²＋b²……………………（1）

my＋x＝±√(a²＋b² m²)

m²y²＋2mxy＋x²＝a²＋b² m²……………………（2）

（1）＋（2）

(m²＋1)(x²＋y²)＝(m²＋1)(a²＋b²)

x²＋y²＝a²＋b²

所以P點座標要滿足最後這個式子，也就是P的軌跡在以中心為圓心，(a²＋b²)為半徑的圓上，這個圓稱為此橢圓的「準圓」。

為了說明完整，還需要考慮兩件事：

（1）    若為鉛直切線與水平切線，交點為(a,b)、(－a,b)、(－a,－b)、(a,－b)，顯然在此圓上。

（2）    要證明在此圓上任取一點，過此點的兩切線互相垂直。
取P(u,v)在準圓上且不為(1)中四點，並假設過P對橢圓的切線斜率為m，
方程式就是y＝mx±√(a²m²＋b²)。
要過P，v＝mu±√(a²m²＋b²)
(v－mu)²＝a²m²＋b²
(u²－a²)m²－2uvm＋(v²－b²)＝0
因為P在準圓上，所以u²＋v²＝a²＋b²
兩根乘積＝(u²－a²)/ (v²－b²)＝－(v²－b²)/ (v²－b²)＝－1
故知此兩切線互相垂直。

【命題】雙曲線的垂直切線的交點軌跡在貫軸長大於共軛軸長時，會在一個圓上；否則不存在。

【證明】

給定雙曲線x²/a²＋y²/b²＝1，若P(x,y)所做的切線互相垂直，求P的軌跡。

假定切線的斜率為m與－1/m

那麼切線就為y＝mx±√(a²m²－b²)，與y＝(－1/m)x±√(a²/m²－b²)

y－mx＝±√(a²m²－b²)

y²－2mxy＋m²x²＝a²m²－b²……………………（1）

my＋x＝±√(a²－b² m²)

m²y²＋2mxy＋x²＝a²－b² m²……………………（2）

（1）＋（2）

(m²＋1)(x²＋y²)＝(m²＋1)(a²－b²)

x²＋y²＝a²－b²

所以P點座標要滿足最後這個式子：

若a＞b，此圓存在，也就是P的軌跡在以中心為圓心，(a²－b²)為半徑的圓上，但是必須扣除與漸近線的四個交點，這個圓稱為此橢圓的「準圓」。

若a＜b，此圓不存在。

若a＝b，滿足條件的只剩原點；但是過對稱中心無法作切線，故也是不存在。

學生應該檢查這件事：在準圓上任取一點，對雙曲線的切線互相垂直。

後記:解析幾何暫時告一段落，我講的這些大概都不會考；至於我為何要講，當然是要繼續我所喜歡的事情，那就是"尺規作圖"。