本文主要是探討三角形外接圓和內切圓的圓心位置以及半徑的關係。


一、位置關係


定理1:(尤拉定理)
ABC中,若外心為O、內心為I,則OI2R22Rr



【證明】


延長AI與外接圓交於D,則DBDCDI
作圓O的直徑DE

令內切圓在AC的切點為F,連接IF
在△AIF和△EDB

IAF=∠DAB=∠DEB
AFI=∠EBD90
°
∴△AIF~EDB
AI/DE
IF/BD
AI
×ID2R×
r
AI×ID就是I對圓O的冪

也就是說AI×IDR2OI2
OI2R22Rr    


【註】若令OId,則定理1的結果可以寫為1/r[1/(R+d)]+[1/(Rd)]


 


這告訴我們說給定三角形後,其外接圓和內切圓就固定,兩圓圓心距當然是固定的。而且馬上有如下的推論:


推論2
對任意三角形,R 2r,等號成立在三角形為正三角形時。


【證明】


由定理1
R2
2RrOI2 0
等號成立時OI0,即內心與外心重合

故為正三角形    


 


反過來說,任給大小兩圓,是否存在一個三角形以大圓為外接圓,且以小圓為內切圓呢?由推論2知,大小兩圓的半徑比不能比2小,而且圓心必需放在正確位置,也就是要滿足定理1。那麼滿足定理1和推論2是否就一定可以找到這樣的三角形呢?答案是:可以,而且能夠找到無限多個!證明如下:


定理3


給定圓O和圓I,其半徑分別為Rr,滿足R 2r,且OI2R22Rr
試證存在三角形以圓O為外接圓且以圓I為內切圓,並且這樣的三角形有無限多個。



【證明】


在圓O上任取一點A
A作圓I的兩條切線APAQ,其中PQ為切點


因為OI2R22Rr R22Rr+r2 (Rr)2
所以兩圓內離

於是直線APAQ和圓O分別交於BC兩點
要證明△ABC就是我們要找的三角形
只要再證明BI是∠ABC的平分線就好
延長AI交圓OD
由定理1的證明過程可逆推至AI×ID
2Rr
作射線BI交圓O
E
作圓O的直徑EF,連接
AF
在△BIP和△FEA

PBI=∠AFE
BPI=∠FAE90
°
∴△BIP~FEA
BI/EF
IP/AE
BI
×AEIP×EF
2Rr
但是BI×IEAI×ID
2Rr
AE
IE
EAI=∠
EIA
EAC+CAI=∠IAB+
IBA
IBA=∠EAC=∠
EBC
所以BI是∠ABC的平分線

得證△ABC以圓O為外接圓且以圓I為內切圓
由於A是任取的
故此種三角形有無限多個


 


這個結果鄭再添老師早在數學傳播第十二期第一卷中發表,他是以兩圓能夠夾住三角形的條件為題,並稱這樣的三角形為夾心三角形。


 兩內離圓夾住三角形的條件


 


二、半徑數值關係


定理4


Rrabc/2(a+b+c)


這個證明太容易了。


 


定理5


r/R4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)


【證明】


ABCI為內心,則∠BIC90°+(A/2)
(BIC)
(1/2)*a*r(1/2)*BC*CI*sin(BIC)
2RsinA*r
(r/sin(B/2))*(r/sin(C/2))*cos(A/2)
4Rsin(A/2)*cos(A/2)(r*cos(A/2))/( sin(B/2)*sin(C/2))
r/R4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)


 


(方法不只這一種,可以自己試試別的作法)


 


定理6


r/RcosA+cosB+cosC1


【證明】


r/R


4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)
2[cos(A/2B/2)
cos(A/2+B/2)]*sin(C/2)
2cos(A/2B/2)*cos(A/2+B/2)
2sin2(C/2)
cosA+cosB(1
cosC)
cosA+cosB+cosC1


 


定理6的結果,可以應用在很多地方。例如:


1.          cosA+cosB+cosC 3/2


2.          銳角三角形ABC中,O是外心,MNP分別是三邊中點,則
OM+ON+OP
R+r


同學應該自行練習



 

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