老王的夢田

96指考數乙非選第一題

題目：

某別墅有一個由四塊正方形的玻璃拼成的田字形窗戶，窗外路燈的光線(假設路燈是一個點光源)透過窗戶在地板上形成一個變形的田字形光影。在地板上建置一個直角坐標系，發現田字形光影外框的四個頂點的坐標分別為 (－4,40)，(16,0)，(16,40)和(28,16)。求田字形窗戶的中心投影在地板上的坐標。

這個題目所要用到的觀念是我所喜歡的；但是這個題目的敘述，卻可以列入我最討厭的大考題目前三名之一。因為這個題目擺了一個引誘錯誤的陷阱！這是我最討厭的出題方式，十分的小人。而且檢討報告還要說做錯的人沒注意到關鍵，這分明是非常得意地看著這些掉進陷阱的人，還嘲笑他們怎麼這麼笨。

甚麼陷阱呢？就是這個「田」字形窗戶，雖然題目有說後來形成一個「變形」的田字形光影，但是一般學生先讀到的是前面，對於「變形」兩字的認知和出題者有差異，就很自然的以為原來中心在田字形的十字交點，投影後也是在變形的十字形交點，而這個十字仍然是對邊中點連線。

看完題目我就知道一定有學生用中點連線求交點；果然，後來好幾個學生問我為什麼是對角線交點而不是中點連線交點，我就一一回答他們。而且我覺得出題者心機超重，中點連線交點的座標也都是整數，分明在出題時已經設計好了。

從一開始報紙上的解答，到這兩年我所看過的講義、參考書，選到這題的解法，都是直接解對角線交點，少有解釋。以及大部分的作者都把這題放在第一冊第一章的平面直角坐標系，我認為這是完全不正確的！理由是因為這題主要觀念不是寫出直線解交點。我們用的複習講義把它放在向量部分，這並不是有所認知，而只是這個題目用向量的一種解法而已。以我的觀點，這題最適當的位置應該是「空間中的直線」，理由後述。

先處理為什麼不是對邊中點連線交點。

只要說明在這樣的投影下，原來線段的中點不一定投射到新線段的中點。

假設在一垂直地面的線段AB，B為接地點，光源在點P，在地面上形成影子的線段為CB。令M是AB中點，它的影子為CB上一點N。

如果N是CB中點，由三角形中點連線性質，MN和AC平行；但是MN和AC交於P，得到矛盾！故原來中點的投影點不是新線段的中點。

不過如果AB和地面平行的話，那就會是，同學可以自行證明。

接著解釋為甚麼是對角線交點。

很簡單，因為射影變換保持直線，以及線與線的交點。原來正方形中心在對角線交點，所以新的四邊形的對角線交點就是投影點。

可是聰明的，告訴我，這個觀念出現在高中教材哪個部分？

而這個觀念卻是解這個問題的重要觀念！沒有想到這件事，就算會解直角坐標系的問題，一樣無法得分。所以這個題目怎麼會放在直角坐標系呢？放在空間中的直線，至少離這個觀念比較近。

這個問題的本質是射影幾何問題，但是我猜多半的補 習班 老師或是參考書作者不敢碰這個核心的問題，所以在這邊只是帶過，寫不出甚麼完整的解答。不過這也不能怪他們，因為啊，大考中心的答案以及研究報告中也是如此啊！