老王的夢田

題目：

如圖，AD為圓的直徑，B、C為半圓周上兩點。令a＝AB、b＝BC、c＝CD、d＝AD，試證：d為方程式x³－(a²＋b²＋c²)x－2abc＝0之一根。

為什麼要講這題？因為那是我第二次考聯考的題目；當時用和角公式努力去做，但是最後可能沒有很清楚表達出來，被扣了分數吧。

後來唸師大數學系，就有機會去看看<<數學傳播>>，就在17卷3期看到 蔡聰明 教授寫的文章<<四邊形的面積>>，裡面提到這個問題；而教授用托勒密定理和畢氏定理就漂亮解決這題(後來蔡教授的書<<數學的發現與猜想>>有收錄)。

解法複製如下：

令x＝BD、y＝AC，

由托勒密定理有xy＝ac＋bd

x²＝d²－a²

y²＝d²－c²

(d²－a²)( d²－c²)＝x²y²＝(ac＋bd)²

展開化簡得到

d⁴－(a²＋c²)d²＋a²c²＝a²c²＋2abcd＋b²d²

d⁴－(a²＋b²＋c²)d²－2abcd＝0

d³－(a²＋b²＋c²)d－2abc＝0

故得證

巧的是，89年我碩士班畢業，那時我要回去南投教書；也因為當年要結婚，而老婆在基隆教書，就想說要老婆考到南投去。那時正好中興高中有缺，就讓老婆報名，自己也順便。筆試前一天是我碩士論文口試！所以我根本沒有準備就去考了。還記得他們的考題是以量取勝，90分鐘要寫22題，每個題目都不是什麼好解決的(可能真的是我還沒接觸高中教材吧)。最後一題就是這題，我就把 蔡 教授的方法寫上去。我有通過初試，被以前的同事笑說，把老婆的名額擠掉了；後來備三，當然就沒上。

等到我在教高中時，又在偶然機會下遇上這題，就突然想到，圓內接四邊形對角互補，如果這樣，不知是否能解？就試了一下：

BD＝d²－a²＝b²＋c²－2bc cosC

而∠A＋∠C＝π

cosC＝－cosA＝－(a/d)

d²－a²＝b²＋c²＋2abc/d

d³－(a²＋b²＋c²)d－2abc＝0

得證

看起來比 蔡 教授的方法要簡潔。

參考資料

http://w3.math.sinica.edu.tw/media/pdf.jsp?m_file=ZDE3My8xNzMwNA==