老王的夢田

在平面上，給定一圓和它的一個直徑兩端點A、B，平面上另有一點P，根據P的位置，只用直尺作出過P且垂直AB的直線。

注意：以下的作圖都是作直線

（1）P在圓內

【作法】

1.        作AP交圓於C

2.        作BP交圓於D

3.        作AD和BC交於E

4.        作EP即為所求

【證明】

因為AB是直徑，所以∠ACB和∠ADB都是直角

因此P是△ABE的垂心

故EP⊥AB

（2）P在圓外

作法和（1）完全一樣，只是根據P的位置而有不同的圖形與證明

第一種：垂足在AB之間

證明時變成E為△ABP的垂心

故PE⊥AB

第二種：垂足在AB外面

證明時變成B是△APE的垂心

故PE⊥AB

以上作圖只要C和D都找到就OK，但當P在圓外時，若D和B重合(或是C和A重合)，則P在過B(或A)的切線上，
這個當成第（3）種情況。

在此情況只要連接PB(或是PA)就好，因為切線和過且點的直徑垂直。

（4）P在圓上

此時C和D和P重合，完全無法用上面的方法來作，就藉用圓的對稱性。

【作法】

(先作一條垂直於AB的直線)

1.        作AP

2.        在AP適當選取C，作BC交圓於D

3.        作AD、BP交於E

4.        作EC交圓於F、G

(接著作P關於AB的對稱點)

5.        作FP交AB於H

6.        作HG交圓於K

7.        連接PK為所求

【證明】

由(1)知EC⊥AB

所以AB是線段FG的中垂線

HF和HG就對稱於AB

又圓對稱於AB

所以P和K也就對稱於AB

故PK⊥AB