老王的夢田

在平面上一圓O，對於同平面上的點P，由圓冪定理(包括內冪、外冪及切割線定理)知，過P的直線若與圓交於A、B兩點，
那麼PA×PB是一個定值，也就是不隨A和B的位置而改變。於是我們定義點P對圓O的冪(circle power)，記為C(P)：

若P在圓外，C(P)＝PA×PB

若P在圓上，C(P)＝0

若P在圓內，C(P)＝－PA×PB

(P在圓上C(P)＝0可以看成是此時A或B其中之一為P，PP×PB＝0)

若圓O的半徑為r，P到O的距離為d，以下說明C(P)＝d²－r²

＜1＞    P在圓外

令PC為切線C為切點，由切割線定理
PA×PB＝PC²＝OP²－OC²
故C(P)＝d²－r²
換句話說，P對圓O的切線長為√C(P)

＜2＞    P在圓內

令CD為以P為中點的弦，則OP⊥CD
由內冪定理得
PA×PB＝PC×PD＝PC²＝OC²－OP²
故C(P)＝－PA×PB＝d²－r²
換句話說，以P為中點的弦長為2√－C(P)

以下從坐標幾何來看

令圓O的圓心為( h , k )，半徑為r，那麼此圓的方程式為( x－h )²＋( y－k )²＝r²

假設此方程式整理成一般式x²＋y²＋dx＋ey＋f＝0，再設f(x,y)＝x²＋y²＋dx＋ey＋f

若P的坐標為( x₀ , y₀ )，則C(P)＝f( x₀ , y₀ )

因為d²＝( x₀－h )²＋( y₀－k )²

再代入C(P)＝d²－r²就好

於是有以下的結論：

1.        對同一個圓O的冪相同的點在以O為圓心的圓上。

2.        可以由C(P)判斷P與圓O的關係：
＜1＞ C(P)＞0，P在圓外，P對圓O的切線長為√C(P)
＜2＞ C(P)＝0，P在圓上
＜3＞ C(P)＜0，P在圓內，以P為中點的弦長為2√－C(P)