老王的夢田

兩圓的夾角：

我們知道兩直線的夾角，若是兩圓有交點，我們也可以定義它們的夾角，這並非不可思議，而是如果我們變成很小很小，在交點附近，其實感覺兩圓就像兩直線。這跟我們在地球上，明明是球體，可是我們卻覺得附近是平面的道理一樣。所以我們定義兩圓夾角如下：

【定義】若兩圓C₁與C₂交於A，過A分別作兩圓的切線L₁與L₂，則兩圓的夾角定義為L₁與L₂的夾角。

如果C₁與C₂只有一個交點，這定義當然沒問題；如果有另一個交點B，那麼A與B會對稱於連心線，由對稱性可以看出在A的夾角與在B的夾角是相同的。進一步來說，因為L₁與AC₁垂直，而且L₂與AC₂垂直，所以L₁與L₂的夾角等於AC₁與AC₂的夾角。

注意：直線的夾角有兩個。

正交圓：

如果兩圓的夾角是直角，那麼我們稱這兩個圓正交（orthogonal），或是直交；這兩個圓就叫正交圓或是直交圓（orthogonal circles）。

若兩圓正交，L₁會過C₂且L₂過C₁，或是說△AC₁C₂為直角三角形。用r₁、r₂分別表示圓C₁與C₂的半徑，那麼C₁對圓C₂的冪就等於r₁²，同樣的C₂對圓C₁的冪就等於r₂²。同時也有

C₁C₂²＝r₁²＋r₂²。…………………………………（1）

再就解析幾何來看，若兩圓方程式為

C₁：x²＋y²＋d₁x＋e₁y＋f₁＝0………………………………………（2）

C₂：x²＋y²＋d₂x＋e₂y＋f₂＝0………………………………………（3）

圓心C₁的坐標為(－d₁/2 , －e₁/2)，半徑平方r₁²＝d₁²/4＋e₁²/4－f₁

代入計算C₁對圓C₂的冪為

d₁²/4＋e₁²/4－d₁d₂/2－e₁e₂/2＋f₂＝d₁²/4＋e₁²/4－f₁

d₁d₂＋e₁e₂＝2(f₁＋f₂)……………………………………（4）

注意：（4）式只是必要條件。

由正交圓的定義，就有下面的定理：

【定理】給定兩圓C₁與C₂，與它們都正交的圓，其圓心軌跡為C₁與C₂的根軸。

【證明】令圓C的半徑為r，且與C₁與C₂都正交，那麼C 對圓C₁的冪就等於r²；並且C對圓C₂的冪就等於r²，於是C對兩圓的冪相等，C在C₁與C₂的根軸上。
另一方面，在C₁與C₂的根軸上取一點P，那麼P對C₁與C₂的冪相等，也就是從P作兩圓的切線長相等，因此以P為圓心，這個切線長為半徑作圓，會與C₁與C₂都正交。

我們也可以用同樣方式定義圓與直線的夾角如下：

【定義】若圓C與直線L交於A，過A分別作圓C的切線M，則圓C與直線L的夾角定義為L與M的夾角。

同樣的，圓C與直線L另外有交點B時，過圓心C作L的垂線N，那麼整個系統會對稱於N，由對稱性可以知道在A的夾角與在B的夾角是相同的。

圓C若與L垂直，我們也稱為正交，此時很明顯L必然通過圓C的圓心。

相關詞：點對圓的冪、根軸。