老王的夢田

給定一個圓C：x²＋y²＝r²，

以及圓外一點P(x₀ , y₀)，

過P作圓的切線PA和PB，其中A、B是切點，

那麼來討論兩個問題：

＜一＞過P、A、B三點的圓方程式

＜二＞直線AB的方程式

＜一＞

先想一下，過圓外一點的切線是如何作出來的？

以CP為直徑作圓，與圓C的交點就是切點A、B，連接PA和PB即是切線。

所以要求過P、A、B三點的圓方程式，那就是以CP為直徑的圓。

(x , y)．(x－x₀ , y－y₀)＝0

x²＋y²－x₀x－y₀y＝0

此方程式就是過P、A、B三點的圓方程式。

＜二＞

A、B兩點就是過P、A、B三點的圓和圓C的交點，換句話說，直線AB就是他們的根軸

故直線AB的方程式為

(x²＋y²－r²)－(x²＋y²－x₀x－y₀y)＝0

x₀x＋y₀y＝r²

另解：

設A、B的坐標分別為(x₁ , y₁)、(x₂ , y₂)

過A的切線為x₁x＋y₁y＝r²

過B的切線為x₂x＋y₂y＝r²

而這兩條切線都通過P

故有x₁x₀＋y₁y₀＝r²與x₂x₀＋y₂y₀＝r²

那麼考慮方程式x₀x＋y₀y＝r²

知道A、B都在這條線上

故為直線AB的方程式

注意：以上的方法都沒有求出A和B的坐標，這種技巧要學下來。