老王的夢田

過圓C：x²＋y²＝r²上一點P(x₀ , y₀)所作切線方程式為x₀x＋y₀y＝r² …………………（1）

若是P(x₀ , y₀)不在圓上，（1）式仍然代表一條直線，假設這條直線為L，那麼這條直線有什麼意義呢？

從這一篇可以知道，若是P在圓外，那L表示過P所作兩切線，兩切點所在直線方程式；那若是P在圓內呢？過圓內一點不能作切線，所以得另外來想辦法。

換個看法，首先注意到，L的x和y的係數就是向量CP，也就是L的法向量和向量CP平行，或是說L和CP垂直。令L和CP的交點為Q，那麼CQ就是C到L的距離，於是有：

CQ＝r²/√(x₀²＋y₀²)＝r²/CP……………………………………………（2）

有沒有覺得（2）式很眼熟？這不就告訴我們Q就是P關於圓C的對稱點嗎？且慢！還得確定方向，若是令
L(x , y)＝x₀x＋y₀y－r²…………………………………………（3）

可以發現L(0 , 0)＝－r²＜ 0
L (x₀ , y₀)＝x₀²＋y₀²－r²

如果P在圓外，L(x₀ , y₀)＞ 0，P就和C在L的異側，Q是P關於圓C的對稱點；
如果P在圓內，L(x₀ , y₀)＜ 0，P就和C在L的同側，Q也是P關於圓C的對稱點。

另外當P在L上時，Q＝P，故Q也是P關於圓C的對稱點。於是我們得到：

【結論】圓C：x²＋y²＝r²與不是圓心的一點P(x₀ , y₀)，那麼直線x₀x＋y₀y＝r² 表示通過P關於圓C的對稱點，且與CP垂直的直線。

這條線如此特別，它還有哪些性質呢？接著會繼續介紹，這條線是P關於圓C的極線，不過還是得從頭講起。