老王的夢田

【定義】：一線上順次有A、C、B、D四點，若滿足AC：CB＝AD：DB，則稱C與D是AB的調和共軛點，或是A、B、C、D為調和點列。

為什麼稱為調和點列呢？由AC：CB＝AD：DB得
AC：(AB－AC)＝AD：(AD－AB)
(AB/AC)－1＝1－(AB/AD)
(1/AC)＋(1/AD)＝2/AB

知AC、AB、AD為調和數列，所以稱為調和點列。

如何找調和共軛點？

已知：直線AB，上面一點C

求作：C對AB的調和共軛點

作法：

I、若C為AB中點
   則其調和共軛點為無窮遠點

II、其他

1.     直線AB外任取一點P

2.     連接PA、PB、PC

3.     在PC上取一點E

4.     作AE交PB於F

5.     作BE交PA於G

6.     作FG交AB於D

7.     D為所求

C在內部

C在外部

證明：

1.      三角形ABP中，AF、BG、PC三線共點，由西瓦定理得(PG/GA)(AC/CB)(BF/FP)＝1

2.      G、F、D三點共線，由孟氏定理得(PG/GA)(AD/DB)(BF/FP)＝1

3.      比較兩式即得AC：CB＝AD：DB

基本的調和點列：

1.        在三角形ABC中，∠A的內、外角平分線分別與BC直線交於D、E，則B、C、D、E為調和點列。

2.        在三角形ABC中，其內切圓與BC、AC、AB邊切於D、E、F；延長EF與直線BC交於G，則B、C、D、G為調和點列。

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