老王的夢田

我們已經了解關於直線的對稱，在此要談關於圓的對稱。

如果把直線看成圓心在無窮遠半徑無限大的圓，那麼這個圓的對稱意義就已瞭解；現在只是要推到一般的圓。

首先是P對直線L的對稱點Q定義如下：

若P在L上，對稱點Q就是P本身；

若P不在L上，此時Q和P在L的異側，PQ和L垂直，且P和Q到L的距離相等。換句話說，L是PQ的中垂線。

至於一般的圓C，對於同平面上的點P，要如何定義對稱點Q呢？如果P在圓C上，那麼Q應該還是P本身；如果P不在圓上，先假設在圓外好了，那麼很自然的想Q應該在圓內。這可以由直線的對稱，其對稱點在線的異側推想。再來是PQ要和圓C垂直，於是直線PQ就會通過圓心。最後是Q的位置，如果P和圓心連線交圓C於A，過A作圓的切線，把P關於圓C的對稱點當成關於過A的切線的對稱點，這樣可以嗎？如果這樣，把P拉遠一些，Q就會跑到圓的外面，這與Q應該在圓內的想法不符，於是在這邊需要修正。

如何修正？既然是圓，我們就用圓的觀點來看直線的對稱：在P對直線L的對稱點Q來作過PQ的直線只有一條，但是作過PQ的圓卻有無限多個，而這些圓有什麼共同的特性呢？顯然這些圓的圓心都在L上。如果類推到圓的情形可不可以呢？這就得看Q能不能找到。在圓C上任取一點M，以M為圓心MP為半徑做圓，當M在圓C上繞一圈時，這所有的圓M是否會有一個共同的交點？可惜答案是否定的，因為選到PC連線上的兩個點當圓心時，這兩圓顯然內切，除P以外不會有其它交點。

再仔細思考，圓心在L上的圓還有另外一個性質，它們都與L正交。能不能類推？假設P在圓外，先作一個過P且與圓C正交的圓K，首先可以知道C會在圓K的外部，連接CP與圓K交於另一點A，並假設B是圓C與圓K的一個交點，那麼我們知道
CB²＝CA×CP………………………………………………（1）

（1）式中的CB就是圓C半徑，CP也知道，於是A的位置就確定，不因圓K改變而改變，這正是我們要的！我們也可以驗證，過P和A所有的圓都與圓C正交。於是我們就定義P關於圓C的對稱點為A。

若圓C半徑為r，設CP＝p，那麼（1）式可改為
CA＝r²/p……………………………………………………（2）。

如果P在圓內，CA就會大於圓的半徑，故定義如下：

【定義】P關於圓C的對稱點Q為
若P在圓上，則Q＝P；
若P不在圓上，則Q在CP射線上，且CQ＝r²/p，其中p＝CP。

在此定義下，圓心C的對稱點為無窮遠點。

假設CP射線與圓C交於D，並且令PD＝a，DQ＝b，那麼（1）式可以改為
r²＝(r＋a)(r－b)……………………………………………（3）
a－b＝ab/r………………………………………………（4）

在（4）式讓半徑趨近無限大，可以得到a＝b，這就是直線的情形。

如何做出P關於圓C的對稱點：

【作法】

以CP為直徑做一圓，交圓C於A、B，

連接AB交CP於Q，Q即為所求。

【證明】

由直角三角形子母相似性質即得。