老王的夢田

根軸(等冪軸)( radical axis)

令C₁與C₂為平面上兩相異圓，它們的半徑分別是r₁與r₂，並設r₁≧r₂。那麼同平面上對此兩圓的冪相同（也就是對兩圓的切線段等長）的點的軌跡，是一條垂直連心線的直線，稱作這兩個圓的根軸。

【證明】

對於點P，對C₁的冪為PC₁²－r₁²；對C₂的冪為PC₂²－r₂²

若他們相等PC₁²－r₁²＝PC₂²－r₂²

得到PC₁²－PC₂²＝r₁²－r₂²………………………………（1）

此時右邊是一個常數

接下來分三步驟說明：

＜1＞在連心線上恰有一點滿足（1）式

若P在連心線上且滿足（1）式，由假設r₁≧r₂知P在射線C₁C₂上

令C₁C₂＝c

那麼PC₂可以改為c－PC₁（或是PC₁－c）

（1）式變成 c×(2PC₁－c)＝r₁²－r₂²

也就是PC₁＝c/2＋(r₁²－r₂²)/2c

這樣P到C₁的方向和大小都確定，所以在連心線上恰有一點滿足（1）式

令此點為H

＜2＞過H作連心線的垂線L，則L上的點都滿足（1）式

在L上任取一點P

PC₁²－PC₂²＝(PH²＋HC₁²)－(PH²＋HC₂²)＝HC₁²－HC₂²＝r₁²－r₂²

滿足（1）式

＜3＞其他點都不滿足（1）式

若有其他點Q滿足（1）式，過Q作連心線的垂線，垂足為K

則可推得K也滿足（1）式

但這與＜1＞的結論矛盾

縱上所述，得到根軸是一條垂直連心線的直線，垂足在大圓圓心到小圓圓心的方向，距離大圓圓心c/2＋(r₁²－r₂²)/2c，其中c是兩圓心距離。

由於圓上的點對此圓的冪等於0，故知若兩圓有兩個交點時，根軸就是公共弦所在直線；兩圓相切時，根軸為過切點垂直連心線的直線，即為一條公切線；兩圓若相離，則可用尺規作出根軸。

以下從坐標幾何來看：

令C₁：(x－x₁)²＋(y－y₁)²＝r₁²；C₂：(x－x₂)²＋(y－y₂)²＝r₂²

或是整理成C₁：x²＋y²＋d₁x＋e₁y＋f₁＝0；C₂：x²＋y²＋d₂x＋e₂y＋f₂＝0

那麼對兩圓等冪的點P坐標(x,y)滿足

x²＋y²＋d₁x＋e₁y＋f₁＝x²＋y²＋d₂x＋e₂y＋f₂

整理得(d₁－d₂)x＋(e₁－e₂)y＋(f₁－f₂)＝0………………………………（2）

因為兩圓不同，所以（2）式的x和y的係數不全為0

因此它是一條直線方程式

特別地若讓y₁＝y₂

則（2）式變成一條垂直x軸的直線

其實我們可以發現，（2）式不過就是把兩圓方程式相減就得到了。