老王的夢田

講義上有一個題目是給你三條直線方程式，他們共有三個交點，要求過這三個點的圓方程式。課堂上我用的是基本的方法，先求出三個交點，再求出這個圓的方程式。

在此我要講另外一種方法，因為這種方法不好理解，所以課堂上不提，有看到的人若是能夠接受，就學下來；若不能接受，就算了，別強求。

基本認知就是：圓是二次曲線的一種（或是說圓的方程式是x,y的二次式），所以我們可以用尋找「二次曲線系」的作法來找到這個圓的方程式。

假設現在給定三條 兩兩 相交的直線：

L₁：a₁x＋b₁y＋c₁＝0

L₂：a₂x＋b₂y＋c₂＝0

L₃：a₃x＋b₃y＋c₃＝0

若是A、B、C分別是L₁和L₂、L₂和L₃、L₃和L₁的交點，那麼A代入L₁和L₂的方程式都會成立。但是那都只是一次式，如何能得到二次呢？把他們的方程式相乘，就得到雙曲線的退化情形，就是二次式。

底下證明pL₁×L₂＋qL₂×L₃＋rL₁×L₃＝0……（※）表示過A、B、C三點的二次曲線

首先這個式子是x,y的二次式

再來以A、B、C代入（※）都會使等號成立

因為L₁(A)＝L₂(A)＝0，L₂(B)＝L₃(B)＝0，L₁(C)＝L₃(C)＝0

所以說明了它是過A、B、C三點的二次曲線

但是我們要的是圓，注意到圓的方程式的特性：xy項係數為0且x²和y²的係數相同，如此可以列出p、q、r的兩個關係式，解出他們的比例。

實際應用時，因為一定不是L₁×L₂，所以（※）可以改為L₁×L₂＋tL₂×L₃＋sL₁×L₃＝0

但是真的用起來也不見得比較方便，做個例題吧。

【例題】

求通過三線：x－y－5＝0、2x＋y－13＝0、3x－y－7＝0交點的圓。

【解】

設此圓方程式為(x－y－5)( 2x＋y－13)＋t(2x＋y－13)( 3x－y－7)＋s(x－y－5)( 3x－y－7)＝0

xy的係數為：－1＋t－4s

x²的係數為：2＋6t＋3s

y²的係數為：－1－t＋s

所以有

－1＋t－4s＝0

2＋6t＋3s＝－1－t＋s

解得t＝s＝－1/3

整理得圓方程式為x²＋y²－2x－2y－23＝0