老王的夢田

在平面上，兩相異點A和B，給定另外兩長度m、n，則平面上點P滿足PA：PB＝m：n的點集合，

若m＝n為AB的中垂線；

若m≠n，令C和D分別是在直線AB上滿足AC：CB＝AD：DB＝m：n的內分點與外分點，則是以CD為直徑的圓。

這個定理就稱作阿波羅尼斯圓定理；這個軌跡圓稱作阿波羅尼斯圓。

反之，若C和D分別是在直線AB上滿足AC：CB＝AD：DB＝m：n的內分點與外分點，

則以CD為直徑的圓上任意點P，都滿足PA：PB＝m：n。

以上或稱為阿波羅尼斯圓定理的逆定理。

證明分成幾合方法與代數方法，可以比較一下。

【幾何方法】

若點P滿足PA：PB＝m：n且P不在直線AB上

因為AC：CB＝AD：DB＝m：n

於是PC就是∠APB的內角平分線，PD是∠APB的外角平分線

所以∠CPD＝90°

P在以CD為直徑的圓上

反之

若P在以CD為直徑的圓上

過B作PC和PD的平行線分別交AP射線於E、F

AC：CB＝AP：PE且AD：DB＝AP：PF

所以PE＝PF

又∠CPD為直角，所以∠EBF也是直角

P為斜邊EF的中點＝＞PB＝PE＝PF

故AP：PB＝AP：PE＝AC：CB＝m：n

關於逆定理的證法還可以這樣做：

滿足PA：PB＞m：n的點集合在圓內

滿足PA：PB＝m：n的點集合在圓上

滿足PA：PB＜m：n的點集合在圓外

如此討論了所有的情形得證。至於上述的證明，就請同學自行練習。

【代數方法】

不失一般性，令A(0,0)、B(d,0)，m＞n，並設P(x,y)

PA：PB＝m：n ＝＞ PA²：PB²＝m²：n²

[x²＋y²]：[(x－d)²＋y²]＝m²：n²

m²(x²－2dx＋d²)＋y²＝n²x²＋n²y²

(m²－n²)x²＋(m²－n²)y²－2dm²x＋m²d²＝0

整理得

[x－dm²/(m²－n²)]²＋y²＝[dmn/(m²－n²)]²

顯然上式為一個圓方程式，圓心在(dm²/(m²－n²),0)，半徑為dmn/(m²－n²)

與x軸的兩個交點為(dm/(m+n),0)與(dm/(m-n),0)正是AB上m：n的內分點與外分點

且圓心在x軸上，故此兩點為圓的直徑。

反之

一樣令A(0,0)、B(d,0)，m＞n

那麼C與D的坐標分別是(dm/(m+n),0)與(dm/(m-n),0)

上面的式子都可以逆推回去

得到以CD為直徑的圓上的點P都滿足PA：PB＝m：n