老王的夢田

這個主題是要探討一個平面上的圖形在另一個平面上的投影，它們的面積關係。

【定理】：

若兩平面E₁與E₂不平行，而此兩平面所夾銳角為θ。若是在E₁上有一個三角形ABC，在E₂上的投影為三角形DEF，
則 (DEF) ＝ (ABC) × cosθ ……（1）

註：若是此兩平面垂直，則會投影成一個線段，其面積為0，自然符合。

在證明之前，先來想一下：若在E₁上有一個線段AB，在E₂上的投影為線段DE，那麼會有 DE ＝ AB × cosθ ……（2）嗎？

答案是否定的，理由是若是在它們的交線上取線段AB，那麼AB的投影仍為AB，並不需要它們的夾角是0。

但是如果找一個垂直於它們交線的平面E，並假設E₁和E的交線為L₁，E₂和E的交線為L₂。那麼在L₁上取線段AB(當然會在E₁上)，在平面E₂上的投影為線段CD，那麼CD就會在L₂上；而L₁和L₂的夾角亦為θ，故知DE ＝ AB × cosθ是成立的。

如果我們這樣想，用與E平行的平面去把△ABC切成一段一段，每一段的投影都滿足（2）式，那把這些小段都加起來，不就滿足（1）式了嗎？

但是這樣的證明需要牽扯到積分概念，所以底下寫一個高中生可以懂的證法：

【證明】

（1）若△ABC有一邊與交線平行

不失一般性假設AB與交線平行，將E₂移至通過AB，那麼DE就和AB重合。

作AB的高CH

那麼DE＝AB，FH＝CH × cosθ

故(DEF)＝(1/2)*DE*FH＝(1/2)*AB*CH*cosθ＝(ABC) × cosθ 得證

（2）△ABC三邊與交線都不平行

必然可以選取一點(設為B)，過B點作交線的平行線會與線段AC交於M，將△ABC分成△ABM和△BMC。再假設M在E₂上的投影點為N，那麼由（1）的結論可以知道：

(DEN)＝(ABM) × cosθ

(ENF)＝(BMC) × cosθ

故 (DEF)＝(DEN)＋(ENF)＝[(ABM)＋(BMC)] × cosθ＝(ABC) × cosθ

得證

以上所證明的是三角形的情況，那麼對於任意多邊形，它的面積可以切成三角形計算，所以對於任意多邊形也有相同的結論。而一般的曲線形狀的面積，則可以用多邊形去逼近，故知結論也相同。