老王的夢田

題意為已知兩點，但其線段中間有部份區域無法通過，也就是無法用直尺直接畫線，那麼該如何做出直線的其他部分。其實這是一個古老的問題，一個村子想要尋找水源，但是水源在山的另一端；於是想要開鑿山洞將水引過來，該如何才能從兩端開鑿過去而最後能連接在一起。

如果能作出一邊，另一邊可以用同樣方法作出。

【作法一】

如果可以用圓規跨越障礙物，那麼就可以這樣作

1.        以A為圓心適當長為半徑畫弧

2.        以B為圓心適當長為半徑畫弧

3.        兩弧交於C、D

4.        作CD中垂線即為所求

【作法二】

如果不能用圓規，但是可以定方位，那麼可以這樣

1.        任作線段AC

2.        作線段BD使得BD＝AC且BD和AC是相同方位（用幾何術語來講就是將B平移向量AC至D）

3.        那麼ABDC為平行四邊形

4.        接著可以將B平移向量CD至G

5.        如果無法直接，還可以先作平行四邊形CDFE，再作平行四邊形BEFG得到

【作法三】

實際在作的時候恐怕上述兩中方式都無法精確，因為方法一無法作出而方法二要在地球上定出完全相同方向是不可能的。接著藉助射影幾何的結果：

1.        任作射線AX和AY

2.        在AX上取一點C，作直線CB交AY於D

3.        在AX上另取一點E，作直線EB交AY於F

4.        作直線CF和ED交於G

5.        過G另作一直線交AX、AY於H、K

6.        連接HD和KE交於L（連HF和KC也行）

7.        作BL即為所求

【作法四】

也是射影幾何的方法

1.        任作射線AX和AY

2.        選一點C作直線CD交AX、AY於F、G

3.        另作直線CE

4.        作BF和BG與CE交於H和I

5.        另作直線CK交AX、AY於L、M

6.        作直線HL和IM交於N

7.        作BN即為所求

至於作法三和四的證明，等講到射影幾何再說。

有其他作法也歡迎分享。