給定一個三角形，要在上面做一個正方形使得正方形的四個頂點都在三角形的邊上，顯然必有一邊上有兩個頂點：若是鈍角三角形，此邊必然不是鈍角的鄰邊；若是直角三角形，可能選到直角頂點為正方形的一個頂點，這種情況應該非常簡單，就略過不提了；銳角三角形就可以任一邊有兩個頂點。所以以下我們將可以有兩個頂點的邊放在最下面，然後去作出這個正方形。
【已知】三角形ABC
【求作】一正方形PQRS，使其兩個頂點落在BC上，另兩個頂點分別在AB和AC上
【作法一】計算正方形的邊長
假設正方形的邊長為x
再令BC＝a，高AH＝h
那麼AK＝AH－KH＝h－x
△ARS~△ABC
所以 AK/AH＝RS/BC
(h－x)/h＝x/a
解得 x＝ah/(a+h)
也就是(a＋h)：h＝a：x
於是可用第四比例項作圖作出x
然後就可以在AH上取到K點
過K作AH的垂線交AB和AC於R、S
分別過R、S作BC的垂線垂足為Q、P
那麼PQRS為所求
【作法二】
由上面的比例式，改進作圖技巧可以得到以下的作法：
＜1＞
1. 作BC的高AH並在延長線上取AD＝BC
2. 連接BD和CD
3. 過A分別作BD和CD的平行線與BC交於Q和P
4. 分別過Q和P做BC的垂線交AB、AC於R和S
5. 連接PQRS為所求
【證明】
HQ/HB＝HA/HD＝HP/HC＝h/(a＋h)
由和比性質(HQ＋HP)/(HB＋HC)＝h/(a＋h)
PQ/BC＝h/(a＋h)
＜2＞
1. 以BC為一邊往外作正方形BCDE
2. 連接AD和AE交BC於P和Q
3. 分別過Q和P做BC的垂線交AB、AC於R和S
4. 連接PQRS為所求
【證明】
QR/BE＝AQ/AE＝PQ/DE＝AP/AD＝PS/DC＝AS/AC＝RS/BC
BE＝DE＝CD＝BC
故QR＝PQ＝PS＝RS
＜3＞
1. 以BC為一邊往內作正方形BCDE
2. 作高AH
3. 連接HE和HD分別交AB於R和AC於S
4. 分別過R和S作BC的垂線交BC於Q和P
5. 連接PQRS為所求
【作法三】
用我們常用的技巧：放寬限制，先不要要求S在AC上
1. 先在AB上任取一點D
2. 過D作BC的垂線垂足為E
3. 以DE為邊往內作正方形DEFG
4. 連接直線BG交AC於S
5. 過S作BC的平行線交AB於R
6. 分別過S、R作BC的垂線垂足為P、Q
7. 連接PQRS為所求
【證明】
由作圖知PQRS為矩形，所以只要證明RS＝PS即可
RS/DG＝BS/BG＝PS/FG
∵DG＝FG故RS＝PS
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