老王的夢田

前面已經把橢圓內接面積最大三角形的問題解決了，接下來的問題也是橢圓內接三角形的問題，但不是面積最大的問題，只是結果正好就是這種三角形，所以才放在一起講。

先講出結論好了：

三角形ABC為橢圓內接三角形，滿足過A的切線與BC平行；過B的切線與AC平行；過C的切線與AB平行。其充要條件為三角形ABC的重心是橢圓的對稱中心。

先看一組平行的狀況。過A的切線與BC平行，令BC中點為D，那麼AD就是這橢圓的一條直徑，它會通過中心O。同理，令AC中點E，AB中點F，那麼BE和CF也會通過中心O，於是中心O就是三角形ABC的重心。

反過來說，若三角形ABC的重心為中心O，那麼中線AD通過中心，所以AD是一條直徑，於是過A的切線會與BC平行。同理過B的切線與AC平行；過C的切線與AB平行。

這樣的三角形就會是前面所說的面積最大三角形。原因是在圓上來看，正三角形的重心就是圓心；在H的作用下，直線仍是直線，也保持線段比例，所以中線不會改變，於是重心就是中心O。

這提供這種三角形另一種作法(也就是不需要先作出圓以及圓上正三角形)：

先在橢圓上任取一點A，

作AO射線，在上面取OD＝AO/2，且A－O－D，

作過A的切線，

過D作上述切線的平行線，與橢圓交於B和C，那麼三角形ABC即為所求。

另外，假設三條切線分別交於M、N、K，顯然A、B、C是三角形MNK三邊中點，於是中心O也是三角形MNK的重心，在這種特別狀況下，我們驗證了一件事：若A、B為橢圓上兩點，過A和過B的切線交於P點，那麼P在由AB所決定的直徑延長線上。

應用例題：(98年嘉義區複賽一第五題)

A、B、C是橢圓x²/4＋y²/9＝1上三點，且三角形ABC的重心恰為原點，已知A的座標是(1，3√3/2)，求BC之長。

解：

計算BC中點D的座標是(－1/2，－3√3/4)

過A的切線斜率為－√3/2

那麼BC直線方程式就是√3x＋2y＋2√3＝0

接下來代入橢圓方程式求B和C就可以了

不過我想這樣繼續

三角形ABC的面積是(3√3/4)×3×2＝9√3/2

A到BC的距離為6√3/√7

所以BC＝3√7/2