老王的夢田

垂足三角形的面積

給定三角形ABC，以及內部一點P，過P作三邊的垂線，垂足為X、Y、Z，求三角形XYZ和三角形ABC面積的比值。

如圖

因為PX⊥BC且PY⊥AC，所以PXCY四點共圓，且PC為直徑，

XY=PC*sinC；

同理PXBZ共圓，且PB為直徑，XZ=PB*sinB。

延長CP，與三角形ABC的外接圓交於D，那麼

∠D=∠A，

∠DBP=∠DBA+∠ABP=∠DCA+∠ZXP=∠PXY+∠ZXP=∠YXZ

在三角形DBP中由正弦定理

PB/sinD=PD/sin∠DBP，也就是PB/sinA=PD/sin∠YXZ

那麼三角形XYZ的面積

(XYZ)=(1/2)XY*XZ*sin∠YXZ=(1/2)(PC sinB sinC)*(PB sin∠YXZ)=(1/2)PC*PD sinA sinB sinC

PC*PD就是點P關於三角形ABC外接圓的冪，

令圓心為O，半徑為R，由圓冪性質知道

PC*PD=R²-OP²

又三角形ABC的面積為(ABC)=2R² sinA sinB
sinC

所以三角形XYZ和三角形ABC的面積比為

(1/4)*{[R²-OP²]/R²}=(1/4)*[1-(OP/R)²]

如果P點在三角形的外部，那麼X、Y、Z就有可能在三邊的延長線上；用相同的方法可以得到一樣的結論，不同的是如果P點在外接圓的外面時(OP>R)，此時P點對圓的冪要改成

OP²-R²

最後的面積比就成為(1/4)*[(OP/R)²-1]

兩者結合就寫成(1/4)*|1-(OP/R)²|
就好

另外，如果P點在外接圓上，那麼就可以得到三角形XYZ的面積為0，意即X、Y、Z共線，就是西姆松定理。