老王的夢田

任意三角形，三邊向外作正三角形，則這三個正三角形的中心構成正三角形。

因為是往外作，所以這個稱作「外」拿破崙三角形，意思是若都往內作正三角形，它們的中心也會構成正三角形，稱為「內」拿破崙三角形。而且，這兩個拿破崙三角形的中心相同。

證明方法，這看來就是個美妙的幾何命題，所以我當然會想用幾何方法來做。

當初遇到這個命題時，先想到的就是國中時常見的一個命題：給一線段AB，其中一點C，以AB為邊作正三角形，以AC和BC為邊往另一側作正三角形，則此三個正三角形的中心構成正三角形。

很明顯的，這個命題只是拿破崙三角形的一種極端狀況，就是把原三角形壓扁成一條線。處理此題我依然用極端原則，將C點往A點靠過去，就得到證明所需要的輔助線。所以對於拿破崙三角形就用一樣的手法。

【命題重述】

已知三角形ABC，分別以三邊往外作正三角形BCD、CAE、ABF；令其中心分別為X、Y、Z，則三角形XYZ為正三角形。

【證法一】

1.         
作X關於BC的對稱點K，連接KB、KC、KY、KZ；

2.         
對於三角形ZBK和三角形ABC，

∠ZBK＝30°＋∠ABK＝∠ABC；

AB/ZB＝√3＝BC/BK，

所以三角形ZBK和三角形ABC相似。

3.         
同理三角形YKC和三角形ABC相似。

4.         
又BK＝KC，所以三角形ZBK和三角形YKC全等。

5.         
連接XB、XZ、XK、XY，

6.         
對於三角形XBZ和三角形XKY，

XB＝XK；BZ＝KY；

∠XBZ＝60°＋∠ZBK＝60°＋∠YKC＝∠XKY，

所以三角形XBZ和三角形XKY全等。

7.         
於是XZ＝XY，

且∠ZXY＝∠ZXK＋∠KXY＝∠ZXK＋∠BXZ＝60°，

故三角形XYZ是正三角形。

三角形往外作正三角形，這也會讓人想到費瑪點，所以有如下的證法：

【證法二】

1.         
分別作出三個正三角形的外接圓，此三圓會共點，此點就是三角形ABC的費瑪點，設為P；

2.         
連接PA、PB、PC，那麼PA是圓Y和圓Z的公弦，

所以PA⊥YZ；

3.         
同理PB⊥XZ，PC⊥XY。

4.         
又∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，

5.         
所以∠Z＝∠X＝∠Y＝60°，

故三角形XYZ是正三角形。

大部分講到複數在幾何的應用，都會用此命題當例子；如高中競賽教程第12講例題一。不過這牽涉到用複數表示正三角形的條件，我習慣用

若複數a,b,c表一個正三角形的充要條件為

a²＋b²＋c²＝ab＋bc＋ac。(證明留作習題)

所以可以用複數來證：