老王的夢田

之前介紹關於圓的對稱點的時候，就有說過一種作圖方法了；現在就是把一些方法集合在一起。

假設P、Q是一組關於圓O的對稱點且P≠Q，那麼由前面所說圓的對稱的定義知道幾個基本性質：

1.         
通過PQ的圓必然和圓O正交；

2.         
Q共線；

3.         
OP×OQ＝r²   (r為圓O半徑)

我們又把圓的對稱點定義為關於圓的反演點。

底下說明作圖方式：

已知圓O及不在圓上的一點P，求作點P關於圓O的對稱點Q。

一、P點在圓外

【作法一】

作直線OP

在圓O上任取一點A，作過A的切線

作AP的中垂線，與過A的切線交於B

以B為圓心，BA為半徑畫圓，與直線OP交於Q，則Q即為所求。

【作法二】

以OP為直徑做一圓，交圓O於A、B，

連接AB交OP於Q，Q即為所求。

(這是之前說過的作法)

【作法三】

連接OP

過O作OP的垂線交圓O於A、B

連接AP交圓O於C

連接BC交OP於Q，Q即為所求。

【作法四】

以P為圓心，OP為半徑畫圓，交圓O於A、B

分別以A、B為圓心，AO、BO為半徑畫圓，兩圓交於Q，Q即為所求。

二、P點在圓內

【作法一】

同P在圓外的作法一可得。

【作法二】

作直線OP

過P作OP的垂線交圓O於A、B

過A作圓O的切線與OP交於Q，Q即為所求。

【作法三】

同P在圓外的作法三可得。

【作法四】

如果OP＞r/2

用P在圓外的作法四可得；

如果OP≦r/2

那麼第一步將與圓O沒有交點，故要修正

作OP中垂線交圓O於A、B

作OA中垂線與直線OP交於Q，Q即為所求。

作法一就是用基本定義，作出兩個與圓O正交且通過P的圓，那麼也會通過P的對稱點Q；其他就都是作滿足OP×OQ＝r²的Q點。作法一和三，不管P的位置都可用，但作法三就別出心裁；值得注意的是作法四只用圓規就可以完成的作法，雖然最後對於P在二分之一半徑之內的情況，似乎不能只用圓規來作，但實際上還是可以。

那麼有沒有只用直尺的作法呢？有的，但那要先做極線。