老王的夢田

【問題三】

圓內接四邊形ABCD，延長AB和CD交於E，延長AD和BC交於F，AC和BD交於G，試證：圓心O為三角形EFG的垂心。

【證明】

由性質二可知，FG就是點E關於圓O的極線，所以EO⊥FG；

同理FO⊥EG，

故O為三角形EFG的垂心。

【性質三】

若L是點A關於圓O的極線，則L上任意點P關於圓O的極線會過A。

【證明】

令B是點A關於圓O的對稱點，Q是點P關於圓O的對稱點，那麼

B在極線L上，且AB⊥L；

也有OA×OB＝r²＝OP×OQ

所以A、B、Q、P四點共圓，

而∠PBA＝90°，所以∠PQA＝90°，

故A在點P關於圓O的極線上。

【性質四】(性質三的逆命題)

若L是點A關於圓O的極線，則過A的任意直線M，M關於圓O的極點在L上。

【證明】

令B是點A關於圓O的對稱點，

過圓心O作直線M的垂線，令Q為垂足，且與L交於P，

∠ABP＝∠AQP＝90°，所以A、B、P、Q四點共圓，

OP×OQ＝OA×OB＝r²

所以Q是P關於圓O的對稱點，P就是直線M關於圓O的極點。