老王的夢田

本文主要是探討三角形外接圓和內切圓的圓心位置以及半徑的關係。

一、位置關係

定理1：（尤拉定理）
△ABC中，若外心為O、內心為I，則OI²＝R²－2Rr。

【證明】

延長AI與外接圓交於D，則DB＝DC＝DI
作圓O的直徑DE
令內切圓在AC的切點為F，連接IF
在△AIF和△EDB中
∠IAF＝∠DAB＝∠DEB
∠AFI＝∠EBD＝90°
∴△AIF~△EDB
AI/DE＝IF/BD
AI×ID＝2R×r
而AI×ID就是I對圓O的冪
也就是說AI×ID＝R²－OI²
∴OI²＝R²－2Rr     。

【註】若令OI＝d，則定理1的結果可以寫為1/r＝[1/(R+d)]+[1/(R－d)]

這告訴我們說給定三角形後，其外接圓和內切圓就固定，兩圓圓心距當然是固定的。而且馬上有如下的推論：

推論2：
對任意三角形，R ≧ 2r，等號成立在三角形為正三角形時。

【證明】

由定理1
R²－2Rr＝OI² ≧ 0
等號成立時OI＝0，即內心與外心重合
故為正三角形     。

反過來說，任給大小兩圓，是否存在一個三角形以大圓為外接圓，且以小圓為內切圓呢？由推論2知，大小兩圓的半徑比不能比2小，而且圓心必需放在正確位置，也就是要滿足定理1。那麼滿足定理1和推論2是否就一定可以找到這樣的三角形呢？答案是：可以，而且能夠找到無限多個！證明如下：

定理3：

給定圓O和圓I，其半徑分別為R、r，滿足R ≧ 2r，且OI²＝R²－2Rr。
試證存在三角形以圓O為外接圓且以圓I為內切圓，並且這樣的三角形有無限多個。

【證明】

在圓O上任取一點A
過A作圓I的兩條切線AP和AQ，其中P、Q為切點

因為OI²＝R²－2Rr ＜R²－2Rr+r² ＝(R－r)²
所以兩圓內離
於是直線AP、AQ和圓O分別交於B、C兩點
要證明△ABC就是我們要找的三角形
只要再證明BI是∠ABC的平分線就好
延長AI交圓O於D
由定理1的證明過程可逆推至AI×ID＝2Rr
作射線BI交圓O於E
作圓O的直徑EF，連接AF
在△BIP和△FEA中
∠PBI＝∠AFE
∠BPI＝∠FAE＝90°
∴△BIP~△FEA
BI/EF＝IP/AE
BI×AE＝IP×EF＝2Rr
但是BI×IE＝AI×ID＝2Rr
故AE＝IE
∠EAI＝∠EIA
∠EAC+∠CAI＝∠IAB+∠IBA
∠IBA＝∠EAC＝∠EBC
所以BI是∠ABC的平分線
得證△ABC以圓O為外接圓且以圓I為內切圓
由於A是任取的
故此種三角形有無限多個

這個結果鄭再添老師早在數學傳播第十二期第一卷中發表，他是以兩圓能夠夾住三角形的條件為題，並稱這樣的三角形為夾心三角形。

 兩內離圓夾住三角形的條件

二、半徑數值關係

定理4：

Rr＝abc/2(a+b+c)

這個證明太容易了。

定理5：

r/R＝4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)

【證明】

在△ABC，I為內心，則∠BIC＝90°+(A/2)
(BIC)＝(1/2)*a*r＝(1/2)*BC*CI*sin(∠BIC)
2RsinA*r＝(r/sin(B/2))*(r/sin(C/2))*cos(A/2)
4Rsin(A/2)*cos(A/2)＝(r*cos(A/2))/( sin(B/2)*sin(C/2))
∴r/R＝4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)

（方法不只這一種，可以自己試試別的作法）

定理6：

r/R＝cosA+cosB+cosC－1

【證明】

r/R

＝4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)
＝2[cos(A/2－B/2)－cos(A/2+B/2)]*sin(C/2)
＝2cos(A/2－B/2)*cos(A/2+B/2)－2sin²(C/2)
＝cosA+cosB－(1－cosC)
＝cosA+cosB+cosC－1

定理6的結果，可以應用在很多地方。例如：

1.          cosA+cosB+cosC ≦ 3/2

2.          銳角三角形ABC中，O是外心，M、N、P分別是三邊中點，則
OM+ON+OP＝R+r

同學應該自行練習