命題一：
若ABCDE為圓內接五邊形，則△ABC、△ACD、△ADE的內切圓半徑和，與△BCD、△BDE、△BEA的內切圓半徑和相等。
初見此題時不知該如何下手，在分析後，看到△ABC、△ACD、△ADE是由A所連出的兩條對角線AC、AD所分割出；△BCD、△BDE、△BEA是由B所連出的兩條對角線BD、BE所分割出。如果命題正確，那麼由C、D、E所連出的兩條對角線分割出的三個三角形內切圓半徑和也應該跟它們一樣。於是把由DA、DB分割的情形畫出，並放在中間比較，
就可以發現，左邊和中間的△ADE是共有的；中間和右邊的△BCD是共有的。哈！這不就是說，只要能證明底下這個命題正確，命題一就證明出來了。
命題二：
若ABCD為圓內接四邊形，則△ABC、△CDA的內切圓半徑和，與△BCD、
△DAB的內切圓半徑和相等。
取極端情況，讓D＝C，此時△ABC＝△DAB，而△CDA、△BCD都不見，就可以猜測命題是正確的。至於要如何證明，這四個三角形的共通性是有相同的外接圓，就思考三角形外接圓半徑R，和內切圓半徑r之間的關係，就用之前講過的r/R＝cosA+cosB+cosC－1來處理。於是可證明如下：
【命題二的證明】
令rA、rC、rB、rD分別表示△ABC、△CDA、△BCD、△DAB的內切圓半徑
R表外接圓半徑
再令∠BAC＝∠BDC＝α、∠CBD＝∠CAD＝β
∠DCA＝∠DBA＝γ、∠ADB＝∠ACB＝δ
於是
rA＝R[cos(α+β)+cosγ+cosδ－1]
rC＝R[cos(γ+δ)+cosα+cosβ－1]
rB＝R[cos(β+γ)+cosα+cosδ－1]
rD＝R[cos(α+δ)+cosβ+cosγ－1]
但是α+β+γ+δ＝π
故rA+ rC＝R[cosα+cosβ+cosγ+cosδ－2]＝rB+ rD
命題得證
於是命題一也得證
同理可以推廣至圓內接n邊形的情況。
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