老王的夢田

若∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝ω，則有

cotω＝ cotA + cotB + cotC                                                                      （1）
＝(a²+b²+c²) / 4Δ                                                                           （2）
＝(1+cosA cosB cosC) / sinA sinB sinC                                         （3）
＝(sin²A+sin²B+sin²C) / 2sinA sinB sinC                                       （4）
＝(a*sinA+b*sinB+c*sinC) / (a*cosA+b*cosB+c*cosC)                （5）

csc²ω＝csc²A + csc²B + csc²C                                                                （6）

sinω＝ 2Δ/ √(a²b²+b²c²+c²a²)                                                               （7）

sin²ω＝(－a+b+c)(a－b+c)(a+b－c)(a+b+c)/4(a²b²+b²c²+c²a²)              （8）

sin³ω＝sin(A－ω) sin(B－ω) sin(C－ω)                                                 （9）

tanω＝sinA sinB sinC / (1+cosA cosB cosC)                                           （10）

（這裡面的Δ代表△ABC的面積）

以上性質可以在http://mathworld.wolfram.com/BrocardAngle.html找到

現在證明這些性質

∠APF＝∠FAC
△PAF~△ACF
PA/AC＝PF/AF＝AF/CF＝sinω/ sinA                                                    （11）
同理
PC/BC＝PE/CE＝CE/BE＝sinω/ sinC                                                     （12）
PB/AB＝PD/BD＝BD/AD＝sinω/ sinB                                                  （13）

於是
sin(A－ω) / sinω＝PC/PA＝BC*sinA /AC*sinC＝sinA sinA/sinB sinC
(sinAcosω－cosAsinω)/sinω sinA＝(sinBcosC+cosBsinC)/sinB sinC
cotω－cotA＝cotB+cotC
cotω＝cotA + cotB + cotC    
這就證明了（1）

cotA + cotB + cotC 
＝ cosA/sinA + cosB/sinB + cosC/sinC
＝ (－a²+b²+c²)/2bc*sinA +( a²－b²+c²)/2ac*sinB +( a²+b²－c²)/2ab*sinC
＝ (a²+b²+c²) / 4Δ                                                                                   （2）

cosA/sinA + cosB/sinB + cosC/sinC
＝ sin(A+B)/sinA sinB + cosC/sinC
＝(sinC*sinC+sinA*sinB*cosC)/sinA sinB sinC
＝[1－cosC(cosC－sinAsinB)]/sinA sinB sinC
＝(1+cosA cosB cosC) / sinA sinB sinC                                                   （3）

A+B+C＝π
∴cos²A+cos²B+cos²C＝1－2cosA cosB cosC                                       （14）
得證（4）

Δ＝(a*RcosA+b*RcosB+c*RcosC)/2                                                  （15）
(a²+b²+c²) / 4Δ
＝(a²+b²+c²) / 2R(a*cosA+b*cosB+c*cosC)
＝[a*(a/2R)+b*(b/2R)+c*(c/2R)]/ (a*cosA+b*cosB+c*cosC)
＝(a*sinA+b*sinB+c*sinC) / (a*cosA+b*cosB+c*cosC)                         （5）

由（11）得
PF/CF＝sin²ω/sin²A
又PF/CF＝(PAF)/(CAF)＝(PBF)/(CBF)＝(PAB)/(ABC)
sin²ω/sin²A＝(PAB)/(ABC)
同理
sin²ω/sin²B＝(PBC)/(ABC)
sin²ω/sin²C＝(PAC)/(ABC)
三式相加得
sin²ω/sin²A+ sin²ω/sin²B+ sin²ω/sin²C＝1
1/sin²A+ 1/sin²B+ 1/sin²C＝1/ sin²ω                                                       （16）
csc²ω＝csc²A + csc²B + csc²C                                                                （6）

由（16）
1/ sin²ω＝4Δ²/b²c²+4Δ²/a²c²+4Δ²/a²b²
sinω＝ 2Δ/ √(a²b²+b²c²+c²a²)                                                               （7）

將海龍公式代入即可得到（8）

PA/PB＝sin(B－ω)/sinω
PB/PC＝sin(C－ω)/sinω
PC/PA＝sin(A－ω)/sinω
三式相乘得sin³ω＝sin(A－ω) sin(B－ω) sin(C－ω)                             （9）

由（3）可得（10）

習題

1.          推導（14）式。

2.          推導（15）式。

3.          若在△ABC內部有P和Q滿足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α
且∠QAC＝∠QCB＝∠QAC＝β，
不要用上列性質（1）~（10）去證明α＝β。