老王的夢田

在處理幾何問題時，常需要巧妙的添加一些輔助線，才能夠順利解決，這對於不常碰幾何的人來說，無疑是個難題；另一種解決的方式就是用代數，設坐標、三角函數、複數、向量等等的方法。今天先來談談用三角函數處理一些特殊角度的問題，一些含有邊角關係的特殊求角度問題，可用三角函數找到解答，進而可以為它量身訂作一個幾何做法。

例題1：
三角形ABC中，AB＝AC且∠A＝20°，D在AB上且∠DCB＝60°，
E在AC上且∠EBC＝50°，求∠EDC＝？
【解】
令∠EDC＝x°，則∠DEC＝(160－x)°
計算角度可知BC＝CE
CE/CD＝sinx°/sin(160－x)°
BC/CD＝sin40°/sin80°＝1/2cos40°
2sinx°cos40°＝sin(160－x)°
2sinx°cos40°＝2sin(x+20)°cos60°
sin(x+40)°+sin(x－40)°＝sin(x+80)°+sin(x－40)°
x+40+x+80＝180
x＝30

所以∠EDC＝30°

【解題欣賞】
AE/AB＝sin30°/sin130°＝1/2sin50°
CE/CD＝BC/CD＝sin40°/sin80°＝1/2cos40°＝AE/AB
∴△BAE~△DCE
∠EDC＝∠EBA＝30°

例題2：
三角形ABC中，∠A＝100°，AB＝AC，延長AB至D，使得AD＝BC，
求∠BCD＝？
【解】
令∠BCD＝x°，則∠BDC＝(40－x)°
AC/AD＝sin(40－x)°/sin(40+x)°
AB/BC＝1/2cos40°
2sin(40－x)°cos40°＝sin(40+x)°
sin(80－x)°－sinx°＝sin(40+x)°
sinx°＝sin(80－x)°－sin(40+x)°＝2cos60°sin(20－x)°＝sin(20－x)°
x＝20－x
x＝10
∠BCD＝10°

【解題欣賞】
作∠AEC＝30°交AB於E
AE/AC＝sin30°/sin50°＝1/2sin50°
AC/AD＝AC/BC＝1/2cos40°＝AE/AC
∴△ACE~△ADC
∠ADC＝∠ACE＝30°
∠BCD＝10°

例題3：
凸四邊形ABCD，AC和BD垂直交於E，∠CBD＝20°，∠CAB＝40°，
∠BDA＝80°，求∠ACD＝？

【解】
設∠ACD＝x°
AE/DE＝tan80°，BE/AE＝tan40°
CE/BE＝tan20°，DE/CE＝tanx°
所以tan20° tan40° tan80° tanx°＝1
我們知道sin20°sin40°sin80°＝(√3)/8
cos20°cos40°cos80°＝1/8
所以tanx°＝1/√3
∠ACD＝30°

例題4：

在四邊形ABCD中，∠DAC＝∠CAB＝55°，∠ACD＝15°，∠BCA＝20°，
求∠ADB＝？
【解】
設∠ADB＝x°
BD/AB＝sin110°/sinx°
BC/BD＝sin(110－x)°/ sin35°
AB/BC＝sin20°/sin55°
∴sin110° sin(110－x)° sin20°＝sinx° sin35° sin55°
2sin55°cos55° sin(110－x)° sin20°＝sinx° cos55° sin55°
sinx°＝2 sin(110－x)° sin20°＝cos(90-x)°－cos(130－x)°
cos(130－x)°＝0
130－x＝90
x＝40
∠ADB＝40°

不過這也不是大羅仙丹，很多問題也不是都能順利解決，尤其含有其他特殊角如 18°、36°，就得多繞圈子了。

一些習題