橢圓與切線性質一


 


【性質一】給定一個橢圓Γ，兩焦點分別為F1和F2，長軸長為2a，O為中心；P為Γ上一點，過P作切線，分別過兩焦點作此切線的垂線，垂足為A、B，則
OA＝OB＝a。


 


【證明】


作F1關於切線的對稱點C，
由光學性質知F2PC共線且F2C＝2a
A為F1C中點且O為F1F2中點，於是OA//F2C且OA＝F2C /2＝a


作F2關於切線的對稱點D，


同理可證OB//F2D且OB＝F2D/2＝a


 


由此還可以衍生出以下性質：


1.        ∠AOB＝θ


2.        (F1ABF2)＝(F1CDF2)/2＝(F1C ×F2D×sinθ)/4＝a2sinθ


 

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