老王的夢田

橢圓共軛直徑的應用

假設d為橢圓x²/a²＋y²/b²＝1的一條直徑，那麼與d平行的弦中點也會構成一條直徑d’，稱為d的「共軛直徑」；互為共軛的兩直徑，除了長軸和短軸之外，其斜率乘積為(－b²/a²)。

【例題1】

已知橢圓x²/9＋y²/4＝1，一點P(2,1)在橢圓內部，求橢圓上以P為中點的弦所在直線方程式。

【解】

假設O為橢圓中心，弦AB在橢圓上，且中點為P；那麼與AB平行的弦中點就在直線OP，於是與AB平行的直徑與OP互為共軛。

OP的斜率1/2

故AB所在直線為

y－1＝(－4/(9×1/2))(x－2)

y－1＝(－8/9)(x－2)

8x＋9y＝25

由直徑兩端點所做的切線，與其共軛直徑平行。

【例題2】

設橢圓x²/9＋y²/4＝1，直線L：x－2y＋10＝0，P是橢圓上一點，求P到L有最小距離時的P點坐標。

【解】

平移L，距離最小發生在相切時，於是此時OP與L的斜率為一組共軛直徑。

L的斜率：1/2

OP直線為y＝(－8/9)x

代入橢圓方程式

x²/9＋16x²/81＝1

x²＝81/25

簡單畫圖可以判斷最近的點為x＝－9/5

y＝8/5

P點坐標(－9/5,8/5)