拋物線切線性質三(互相垂直的切線交點軌跡為準線,兩切點連線過焦點)
給定一個拋物線,我們要證明兩件事:
一、過一焦弦兩端點作切線會互相垂直,且其交點在準線上。
二、過準線上一點作兩切線會互相垂直,且兩切點連線會過焦點。
【證明】
過一焦弦兩端點作切線會互相垂直,這個從光學性質來想就好,平行主軸的光線進來碰到拋物線反射後會通過交點;然後再碰到拋物線反射後又平行主軸出去,等於是轉了一百八十度。相當於碰到兩切線反射,所以這兩線的夾角是九十度。
不過我們還是要證一下啦。
第一部份
<<初中競賽教程>>第141頁例題7證明了這個命題:
在梯型ABCD中,AD//BC,AD+BC=AB,F是CD的中點,則∠A和∠B的平分線都過F。(證明很容易,最好自己做)
現在假設拋物線Γ,焦點為F,準線為L。AB為一焦弦,過A和B作L的垂線,垂足為C和D,E是CD中點。運用上面的命題得到AE和BE分別是∠FAC和∠FBD的平分線,也就是過A和過B的切線,故得到交點在準線上。
又∠AEC=∠AEF,∠BED=∠BEF,故∠AEB=(∠FEC+∠FED)/2=90°,
得到兩切線互相垂直。
第二部份
反之,在L上取一點E,過E作兩切線EA和EB,其中A、B是切點;分別過A和B作L的垂線,垂足為C和D,知道C和D就是F關於切線AE和BE的對稱點,且∠AFE=∠ACE,∠BFE=∠BDE,
而∠AFE+∠BFE=∠ACE+∠BDE=180°,所以F在AB上,同時由第一部份知道AE和BE垂直。
此外,這個結果告訴我們,準線就是焦點關於拋物線的極線。
習題:用解析做一遍。
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