老王的夢田

將一線段分成三份能構成三角形的機率

先聲明，上課的時候我講錯了，現在又沒機會在課堂上更正；為免老王一世英名毀於一旦，所以寫在這裡，有看到的同學請跟沒看到的講一下；不過老話一句，考的機率很低。

假設線段長度為1，分成x、y、1－x－y三份，所以樣本空間為

S＝{（x、y）｜0＜x＜1，0＜y＜1，x＋y＜1}

構成三角形的事件A為A⊂S

A＝{（x、y）｜x＋y＞1－x－y，x＋1－x－y＞y，y＋1－x－y＞x}

＝{（x、y）｜x＜1/2，y＜1/2，x＋y＞1/2}

分別計算S的面積為1/2，A的面積為1/8

故P(A)＝1/4

如果問題改為構成鈍角三角形的機率，那麼樣本空間同樣是S，事件B為B⊂A

B＝{（x、y）｜x²＋y²＜(1－x－y)²，x²＋(1－x－y)²＜y²，y²＋(1－x－y)²＜x²}

＝B₁∪B₂∪B₃，其中

B₁＝{（x、y）｜2xy－2x－2y＋1＞0}

B₂＝{（x、y）｜2x²＋2xy－2x－2y＋1＜0}

B₃＝{（x、y）｜2y²＋2xy－2x－2y＋1＜0}

畫圖來看，黃色部份為B₁，綠色部分為B₂，紅色部分為B₃。

然而B₂和B₃的面積不好求，考慮對稱性可知這三塊面積應該是相同的，所以只計算B₁的面積為

∫₀^1/2[(2x-1)/(2x-2)－(1/2－x)] dx

＝∫₀^1/2[1/2＋x＋1/(2x-2)] dx

＝3/8－(1/2)ln 2  

所以B的面積為 9/8－(3/2)ln 2

故 P(B)＝9/4－3 ln 2

如果要問構成銳角三角形的機率，那就是

1/4－(9/4－3 ln 2)＝3 ln 2 －2