老王的夢田

a,b,c,d為正數，已知a＞b，c＞d，若a＋b＝c＋d且ab＞cd，試比較a,b,c,d的大小。

【解】

假設兩正數x,y，令x＋y＝p，那麼

xy＝x(p－x)＝－x²＋px＝－(x－p/2)²＋p²/4

這是一個二次函數，而且p值固定，這個函數就固定了。它開口向下，所以若以平行x軸的線去截，越往下截出的線段越長；但是中點是固定的，所以交點x坐標就右邊越大而左邊越小。是以可以判斷出d＜b＜a＜c。 

若題目改為a,b,c,d為正數，已知a＞b，c＞d，若a＋b＞c＋d且ab＝cd，試比較a,b,c,d的大小。

【解】

如法炮製，假設兩正數x,y，令xy＝k，那麼

x＋y＝x＋k/x，

這個函數圖形是雙曲線，水平切線分別是y＝±2√k

因為只討論正數，只看第一象限的圖形，2√k就是它的最小值，此時x＝√k。在(0, √k)它遞減而在(√k,∞)遞增。所以若以平行x軸的線去截，越往上截出的線段越長；而且可以判斷出a＜d＜c＜b。

其實這題牽涉的是兩數和以及兩數積，通常我會想到就用根與係數來處理，我也會告訴學生可以這樣做，但是學生連這種都無法反應：

x＋y＝p，xy＝k，那麼x,y是方程式t²－pt＋k＝0的兩根。

第一題可以這樣：令a＋b＝c＋d＝p，k₁＝ab＞cd＝k₂

a,b是方程式f₁(x)＝x²－px＋k₁＝0的兩根

c,d是方程式f₂(x)＝x²－px＋k₂＝0的兩根

而f₂是f₁往下平移的結果，所以被x軸截出的部分擴大。

第二題可以這樣：令p₁＝a＋b＞c＋d＝p₂，ab＝cd＝k

a,b是方程式f₁(x)＝x²－p₁x＋k＝0的兩根

c,d是方程式f₂(x)＝x²－p₂x＋k＝0的兩根

而f₂是f₁以(0,k)為中心縮過來的結果，所以被x軸截出的部分減小。