老王的夢田

四邊形有沒有重心??有的，而且就是基本的定義:

四邊形ABCD，存在同平面上一點G，滿足OG=(OA+OB+OC+OD)/4，此點為四邊形ABCD的重心。

好，在哪裡??

上式可以轉成GA+GB+GC+GD=O

取AB中點M和CD中點N，GA+GB=2GM，GC+GD=2GN，

於是GM+GN=O，G是MN中點。

同理，若AD中點P，BC中點Q，G也是PQ中點；

若AC中點S，BD中點T，那麼G也是ST中點。

我們早就證明這三者的中點是同一點了，所以就是它。

如果ABC的重心是K，那麼有3GK+GD=O，這說明了K、G、D共線，且GD=3GK。

一般情況是:

給定四邊形ABCD，在內部找一點P，使得2PA+3PB+5PC+7PD=O

(在這裡的係數2,3,5,7是我任選，代表一般性，同時避免可以分成兩組和相等的情形)

[作法]

在AB上取X使得AX:XB=3:2，那麼PX=(2/5)PA+(3/5)PB

也就是2PA+3PB=5PX

在CD上取Y使得CY:YD=7:5，那麼PY=(5/12)PC+(7/12)PD

也就是5PC+7PD=12PY

5PX+12PY=O

所以P在XY上且PX:PY=12:5

這樣就把P點找到了。