最近準備教材，看到兩則問題:
(我想出這東西的幾何意義了)
1
x,y為實數，求x^2+y^2+(x+2y-3)^2的最小值。
2
x,y為實數，若(2x+2y+2)^2+(x+3y+1)^2+(2x+4y-1)^2=4，求x,y的值。
兩題都用到柯西不等式，這讓我覺得很糟糕，感覺上就是為了柯西而柯西，一點都不知道這有啥意義。
這樣的題目若是放在競賽題就罷了，可是當成一般學生的考題，就太超過了。
柯西不等式放在向量裡面，只不過就是因為用內積解釋比較方便，比起代數證明要容易懂。至於它的用途，說真的，課本上的例題不過就只是稍微練一下而已，可沒有要處理任何高深的東西；換句話說，即使大考要考，也不可能考到類似什麼
x.y>0且x+y=4，求1/x+4/y的最小值；
0<1，且a+b=1，求根號(a+1)+根號(b+1)的最大值< font>
等等。可是這連習作都有，真不知編書的人到底在想些什麼!!!
有人跟我一樣，用柯西不等式導出點到直線(或平面)距離公式的嗎??????
底下這題，也來一下吧:
設x,y,z都是正實數，滿足x^2+y^2-z^2+9=0，求 x+2y-3z 的最大值。
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向量的平行四邊形面積公式 （ 那個難看又難記的√(|A|2|B|2-(A·B)2) ）
長得跟柯西不等式有點神似 , 如果以後您聽到有人把這個公式叫做
" 柯南公式 " , 那就是我搞出來的啦 !
[版主回覆10/30/2010 11:23:58]叫"柯北"比較威~~~~~~~~
我在想，濫用公式會不會產生與濫用抗生素一樣的後果。
[版主回覆10/30/2010 11:25:42]
應該不會。理由是:
1仍有不少教師或是補習班在研發新的公式。
2問題再古怪，其實我們都有以不變應萬變的大無敵招式。
看到最下面的題目腦袋裡第一個出現的居然是Largrange multiplier......
柯西不等式......對他沒什麼感覺，頂多比算幾不等式好一點
[版主回覆10/30/2010 11:27:58]用Largrange multiplier很好啊!!!!
其實我也不知道什麼時候會用到柯西不等式，當年柯西是做什麼問題用到的啊????
如果有找到資料，麻煩講一下。
Max= -6 [版主回覆10/30/2010 11:28:54]
這題好像討論過???是哪一年哪一區的???
唉!!年紀大，記不清楚了。
數學...印象中是這樣的了~~
[版主回覆10/30/2010 11:29:40]都是人搞出來的啦~~~~~
是98省二區2-5
我記得第一次解時還解錯，以為答案是6(因算出k<=-6 或 k>=6，以為取正的就好@@)
po一下我的解法供參考：
[版主回覆10/31/2010 11:38:05]嗯嗯嗯嗯嗯令 x+2y-3z = k => x+2y-k = 3z, 又x^2+y^2+3^2=z^2
=> (x^2+y^2+3^2)[1^2+2^2+(-k/3)^2] >= (x+2y-k)^2
=> [5+(k^2)/9](z^2) >= 9(z^2)
=> k^2 >= 36
=> k<=-6 or k>=6
"=" <=> x/1=y/2=3/(-k/3)=-9/k (因 x,y,z皆正數, 故k>=6不合)
=> k<=-6
故x+2y-3z 最大值為 -6
這類題目,應該是補習班研發出來作秀用的吧!試算一下,不知道對不對!
(1) x^2+y^2+(x+2y-3)^2 我會把它想成( x, y )與( 0, 0 )距離的平方,加上(x, y)與直線 x + 2y=3距離平方的五倍,此點在 2x -y=0 的線段上,以 y = 2x 代入求極值. 得到極小值 3/2.
(2)(2x+2y+2)^2+(x+3y+1)^2+(2x+4y-1)^2=4;這題就找出同時消去x,y的係數再柯西
( 2x+2y+2, x+3y+1, 2x+4y-1)( 1/2, 1, -1) = 2 * 3/2 cosA 得 cosA=1 --> 兩向量平行
得2x+2y+2 : x+3y+1 : 2x+4y-1 = 1 : 2 : -2 得 x = -7/6 , y = 1/2
[版主回覆10/31/2010 11:39:14]是啦，
可是這種問題，展開不就好了，為何要做成這種型式??
設x,y,z都是正實數，滿足x^2+y^2-z^2+9=0，求 x+2y-3z 的最大值。
尚盼王老師撥冗不吝賜教, 謝謝!
敝人電子信箱: angus555666@yahoo.com.tw
[版主回覆12/19/2010 19:53:50]您好，底下費馬老師的作法就可以了。