老王的夢田

角平分線與外接圓

在三角形ABC中，∠BAC的平分線與BC交於D，與外接圓交於X，若內心為I，那麼會有：

1.          AD²＝AB×AC－BD×CD

2.          XB＝XC＝XI

3.          AX×ID＝AI×XI

【證明】

1.          在三角形ABX和ADC中
∠BAX＝∠DAC，∠BXA＝∠DCA
故兩三角形相似
AB/AD＝AX/AC
AB×AC＝AX×AD＝(AD＋DX)×AD＝AD²＋AD×DX＝AD²＋BD×CD(圓冪定理)
故AD²＝AB×AC－BD×CD

2.          ∠XIB＝∠XAB＋∠IBA＝∠XBC＋∠IBD＝∠XBI
故XB＝XI
而X是弧BC的中點，有XB＝XC
故XB＝XC＝XI

3.          由1，AX/AC＝BX/DC
AX/BX＝AC/DC＝AI/ID
故AX×ID＝AI×XI

由第二點可以知道，X就是三角形BIC的外心；
將此圓作出，延長AX與圓交於另一點P，那麼P就是三角形ABC的傍心。

如果再作∠ABC的平分線以及∠ACB的平分線，分別與外接圓交於Y和Z，那麼會有AX＋BY＋CZ＞AB＋BC＋CA

【證明】

法一
IA＋IB＞AB
IB＋IC＞BC
IC＋IA＞CA
ZA＋ZB＞AB
XB＋XC＞BC
YC＋YA＞CA
而ZA＝ZB＝ZI，XB＝XC＝XI，YC＝YA＝YI
將六個式子相加，就得到
2(AX＋BY＋CZ)＞2(AB＋BC＋CA)
AX＋BY＋CZ＞AB＋BC＋CA

法二
過X分別作AB和AC的垂線，垂足為M、N
可以知道三角形XBM和XCN全等
BM＝CN
所以AB＋AC＝AM＋AN＝2AM
而AX＞AM＝(AB＋AC)/2
同理BY＞(BC＋CA)/2
CZ＞(CA＋AB)/2
三式相加得到AX＋BY＋CZ＞AB＋BC＋CA

計算角度，可以知道
∠ZXY＝(B＋C)/2，∠XYZ＝(A＋C)/2，∠YZX＝(A＋B)/2
那麼計算三角形ABC和XYZ的面積，因為有相同外接圓，假設半徑為R，
(ABC)＝2R²(sinA)(sinB)(sinC)
(XYZ)＝2R²(sinX)(sinY)(sinZ)＝2R²[sin((B＋C)/2)][sin((A＋C)/2)][sin((A＋B)/2)]
＝2R²[cos(A/2)][cos(B/2)][cos(C/2)]

所以比值(ABC)/(XYZ)＝8[sin(A/2)][sin(B/2)][sin(C/2)]＝2r/R...........(註)

由尤拉定理的推論知道R≧2r，
(XYZ)≧(ABC)，
也就是我們證明了三角形XYZ的面積比三角形ABC要大，且只有在原來ABC是正三角形的時候，才會相等。