老王的夢田

學科中心第50期電子報

http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/ePaper/Default.aspx

裡面有篇張海潮教授寫的"畢氏定理不能自外面積公式和平行公理"一文，實在想說些話。

這個問題的標題很奇怪，說實在的，很想問問 張大 教授，為什麼會寫出這樣的題目。不過我看到標題的時候，馬上想到之前在昌爸工作坊的討論區，跟別人討論過的一個問題：畢氏定理需不需要經過三角形全等性質證明？

www.mathland.idv.tw/talk-over/memo.asp?srcid=30463&bname=ASP

對方認為不必要，我則持相反看法。然後對方提出的說法也是 張 教授所謂中國流證明，他說取四個一樣的直角三角形，這是做得到的；但是我認為會提出這種說法的人根本就不懂證明！！沒有經過證明，怎麼知道這四個三角形全等？更別說接下來要說明中間那是正方形，還要用到的性質了。

再回到 張大 教授的問題，我想應該也是有人會覺得證明畢氏定理，不需要平行公理和面積公式。這恐怕是現在的人，在學習幾何的時候，常常會覺得，某些命題，可以用別的方式得到證明，為什麼書上卻寫很麻煩的方法呢？

關於這點，我還是想提以前教國中的時候，看到測驗卷上面的一個問題：

A 三角形內角和定理(指內角和180°)
B 三角形外角和定理(指外角和360°)
C 三角形外角定理(指外角等於兩個不相鄰的內角和)
D 五角星形五個內角和為180°
以上四個定理出現的先後順序為何？

我看到這題真的笑到很誇張，同事還不知道我為什麼笑，唉！

這題的答案是BACD，我想現在的學生看到這題，應該會答ABCD或ACBD才是，為何答案卻是BACD？因為啊，當時課本的編排是先說明B，再導出A，然後C、D。可是真的是這樣嗎？

這些問題，如果要找解答，是不是該去找這方面的權威？幾何的權威是啥？我想，絕大部分的人會同意是<<幾何原本>>；所以我們應該看看幾何原本吧！原本裡面關於上面的問題，是先證明平行線的同位角相等、內錯角相等以及同側內角互補(I.29)，然後證明C，同時得到A(I.32)，原本裡面沒有提到B和D(至少我沒看到)，所以這兩點都可以當成是A的推論。

但是原本裡面的順序就是出現的先後順序嗎？這點牽涉到一個非常大的問題，那就是我們到底是「發現」還是「發明」了定理？這是個見仁見智牽扯不清的問題，我們不要扯那麼遠，我的想法是，這些定理，應該是等價的，意思就是同時出現的，沒有先後之分，所以當成考題，就會出現版本的問題了。

至於畢氏定理的問題，那是原本的(I.47)，命題的內容論述，一開始就提到要作正方形(I.46)；而作正方形就會用到平行線同側內角互補這個性質，自然就是用到了平行公理。再來是用到全等性質，所以畢氏定理不能獨立於全等性質之外。然後用到面積性質(I.41)，也就說明了要用面積算法。所以若要解釋 張大 教授所提的問題，只要把原本裡面的畢氏定理證明拿出來，基本上就解決了；還要說明的是另外那將近四百種的證法，也需要用到這三者(面積公式、平行公理和全等性質)。只是 張 教授只提了一種，也沒再作進一步的說明，以及最後一段，根本表明了沒有去看過幾何原本，讀來真是讓人失望！！

看看幾何原本吧！！

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html