老王的夢田

作一線平行於已知直線並切割等面積

數學傳播第32卷第2期刊載一篇由葉東進老師所提出來的問題，
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d322/32208.pdf

並且於第32卷第4期刊載此問題的解答，

http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d324/32410.pdf

個人認為將幾何代數化來解題，固然有它的優勢；但是這樣一來，就讓人覺得失去趣味性，也令人感到索然無味。只是我現在才看到，不然當時也會給予回覆。(應該也不會被選上吧)

問題

已知三直線L1
、L2
及M，
A
、B
分別是L1
、L2
上的定點。今問:
能否用尺規作圖的方法在L1
與L2
上分別找到點C
及D，使得CD
平行M，
且△ACE
及△BDE
兩者的面積相等?

解答

如果已經做出，那麼由△ACE
及△BDE
兩者的面積相等可以知道AD//BC；
如果原來L1
與L2
平行，那麼只要從AB中點作M的平行線即可；
如果L1
與L2
交於G，那麼GA/GC=GD/GB；
過A作M的平行線交L2
於H，那麼GA/GC=GH/GD；
綜合上面兩式即得GD/GB=GH/GD，也就是GD是GH和GB的比例中項，於是可以作圖如下:

1. 過A作M的平行線交L2
   於H

   
   

2. 在L2上取GD為GH和GB的比例中項

   
   

3. 過D作M的平行線交L1於C

   
   

4. 連接CD為所求

但是這個作法，說實在的，實際上很難用，因為不容易到達兩線的交點(G)。為了彌補這件事，將此作法改進一下:

1. 在L1上適當取一點P

   
   

2. 過P作L2的平行線交AB於X

   
   

3. 過A作M的平行線交PX於Y

   
   

4. 在PX上取PZ為PX和PY的比例中項

   
   

5. 作AZ交L₂於D

   
   

6. 過D作M的平行線交L1於C

   
   

7. 連接CD為所求

   
   

如此一來，相當於我們把G點移到P點，使得P點是可以作到的；由於平行線保持比例，故上面的作法仍是正確的。

也可以改成底下的作法

1. 過A作M的平行線交L2
   於H

   
   

2. 過B作M的平行線交L1於K

   
   

3. 在BK上取BQ為AH和BK的比例中項

   
   

4. 過Q作L2
   的平行線交L1於C

   
   

5. 過C作M的平行線交L2
   於D

   
   

6. 連接CD為所求

   
   

因為AH/CD=GA/GC=GD/GB=CD/BK，所以CD是AH和BK的比例中項。