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如圖
A、B、C、D、E、F都在以O為圓心的圓上，且△OAB、△OCD、△OEF都是正三角形；X、Y、Z分別是BC、DE、FA的中點。試證△XYZ為正三角形。
這題是最近解決的問題
看完題目
看到正三角形
會想用複數處理
令A、B、C、D、E、F所代表的複數分別為a、aw、b、bw、c、cw
其中w是cos60° + i sin60°，有 w2-w+1=0
於是令X、Y、Z所代表的複數分別為x、y、z
x=(aw+b)/2、y=(bw+c)/2、z=(cw+a)/2
只要計算驗證x2+y2+z2=xy+yz+zx就好了
87班的
若是看到這段
完成上面要驗證的式子
當然
我會再去思考幾何作法
如圖
將△OCX旋轉60度成為△ODP
M為CD中點
則O、X、C、M共圓且O、M、D、Y共圓
∠OPD=∠OXC=90度
故P在OMDY的外接圓上
∠PMD=∠POD=∠XOC=∠XMC
故P、M、X共線
又∠POX=60度
於是△POX為正三角形
=> XP=XO且∠PXO=60度
-------------------------------------------------------------------------
如圖
觀察△XPY和△XOZ
XP=XO
∠XPY=∠MDY=∠XOB+60°+∠AOZ=∠XOZ
又∠POY=∠POD+∠DOY=∠XOC+∠DOY=(∠BOC+∠DOE)/2
= (180°－∠AOF)/2=90°－∠AOZ=∠OAZ
由正弦定理
PY=ODsin∠POY=OAsin∠OAZ=OZ
故△XPY≡△XOZ
XY=XZ
∠YXZ=∠YXO+OXZ=∠YXO+∠PXY=∠PXO=60度
故△XYZ為正三角形
QED
若是各位有其他作法
也請告訴我
謝謝!
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