老王的夢田

圓錐截痕之雙曲線

我們要證明截面的傾斜度大於平行於母線的情況下，截痕為雙曲線。其實過程與橢圓完全一致，可以共同研究。

【第一部分】

令包含L₀且與E垂直的平面為π，那麼就平面π來看，此時平面E變成一條直線L，與母線交於A和B。那麼可以作出△VAB在∠VBA的傍切圓O₁與∠VAB內部的傍切圓O₂，如圖，其中F₁、P₁、P₂、F₂、Q₁、Q₂都是切點。延長P₁P₂、Q₁Q₂分別與L交於C、D，接著要證明：

（1）    AF₁＝BF₂

（2）    AF₁：AC ＝ BF₂：BD

首先證明（1）：

令△VAB的半周長為s

由於切線段等長，有AF₂＝AQ₁，BF₂＝BQ₂

所以2s＝VA＋VB＋AB＝AQ₁＋AF₂

但是AQ₁＝AF₂

所以s＝VQ₁＝VQ₂

於是BF₂＝s－AB

同樣方式可得AF₁＝s－AB

故AF₁＝BF₂

還可以得到一些結果

AF₂＝BF₁，AF₂－AF₁＝BF₁－BF₂＝AB＝P₁Q₁＝P₂Q₂

AC：AF₁＝AC：AP₁＝AD：AQ₁＝AD：AF₂＝CD：P₁Q₁；

BD：BF₂＝BD：BQ₂＝BC：BP₂＝BC：BF₁＝DC：P₂Q₂；

由於P₁Q₁＝P₂Q₂

所以AF₁：AC ＝ BF₂：BD＝AF₂：AD＝BF₁：BC

可以知道這個比值是大於1的。

圓O₁和圓O₂繞軸產生的球，與圓錐面和截平面E都相切，切點分別是F₁和F₂。

【第二部份】

我們要證明截痕上任一點P到兩切點F₁和F₂的距離差為定值。

作射線VP和兩球交於T₁、T₂，

由於切線段等長，有PF₁＝PT₁，PF₂＝PT₂

於是︱PF₁－PF₂︱＝︱PT₁－PT₂︱＝T₁T₂＝P₁Q₁＝AB為定值。

相同的，令包含切圓的平面與截面的交線分別為d₁、d₂，那麼d_i稱為關於焦點F_i的「準線」。接下來要證明，雙曲線上任一點到焦點距離與到對應的準線距離，其比值是一個定值，就是AF₁：AC。

【證明】

作與拋物線相同的事，

PK表示P到準線d₁的距離，且有PK＝CM；而且PF₁＝PT₁＝P₁G＝P₂H

回到平面π上來看，

MH//CP₂，所以P₂H：CM＝BP₂：BC＝BF₁：BC＝AF₁：AC

同理可以有DM表示P到準線d₂的距離，PF₂＝Q₁G＝Q₂H

Q₁G：DM＝AQ₁：AD＝AF₂：AD＝BF₂：BD＝AF₁：AC

至此我們證明完畢。

我們定義這個比值為此圓錐曲線的離心率，同樣用符號e表示。由前面的討論知道雙曲線的離心率大於1。