老王的夢田

圓錐曲線焦準定義

給定平面上一點F，一直線L，以及正數e。則所有在平面上的點P，滿足
PF / d(P,L) ＝ e 的集合為一個圓錐曲線，而且：
若 0 ＜ e ＜ 1，此曲線為橢圓；
若 e ＝ 1 ，為拋物線；
若 e ＞ 1 ，為雙曲線。
稱F為焦點，L為準線，e為離心率。

這個定義，可以把三種圓錐曲線統一定義在一起，而不是課本上三種不同的定義。從前面的文章知道圓錐曲線同時擁有這兩種性質，所以顯然這兩種定義是等價的。

對於拋物線來說，這兩個定義實際上一樣，只是換個寫法。
至於橢圓和雙曲線，我們在導出標準式時，有數值a、b、c；
先說明 e ＝ c / a

e＝AF₁/AC＝AF₂/AD＝(AF₂－AF₁)/(AD－AC)＝F₁F₂/AB＝2c/ 2a＝c/a

接著，令CD＝2d

e＝AF₁/AC＝AF₂/AD＝(AF₂＋AF₁)/(AD＋AC)＝AB/CD＝2a/2d＝a/d

所以

d＝a/e＝a²/c

也有ed＝(c/a)×(a²/c)＝a

再重新整理標準式：

以(c,0)為焦點，x＝d為準線的橢圓和以(c,0)、(－c,0)為兩焦點，到兩焦點距離和為2a的橢圓相同，其中d＝a²/c，而且離心率為e＝c/a。

【導出過程】

√[(x－c)²＋y²] / ｜x－d｜＝e

移項平方展開

x²－2cx＋c²＋y²＝e²x²－2e²dx＋e²d²

(1－e²)x＋2(e²d－c)x＋y＝e²d²－c²

其中
1－e²＝1－c²/a²＝(a²－c²)/a²＝b²/a²，e²d－c＝ea－c＝0，e²d²－c²＝a²－c²＝b²

代入得

(b²/a²)x²＋y²＝b²

x²/a²＋y²/b²＝1

對於雙曲線也有同樣的結果。

所以對於橢圓就有五個五個數值：a、b、c、d、e，他們之間的關係式要記牢。
也許你會抱怨，光是a、b、c就夠受了，再跑出個d、e更是麻煩！其實我早就說過，解析幾何就只是計算而已，一定可以算出來，頂多就是常常遇到複雜的算式罷了。所以基本上只要把一套東西弄熟練，就足以應付現階段的問題了。

如果同時擁有這兩種觀點，處理問題時就可以相互為用，以期能找出你們想要的「必殺」。

對於橢圓，我們有參數式可以運用；但是遇到焦半徑的問題時，有時候用離心率觀點或許會比較簡單。

【例題1】

假設點P(x,y)在以F(c,0)、F’(－c,0)為兩焦點，到兩焦點距離和為2a的橢圓上，
試證：PF＝a－cx/a。

【證明】

令離心率為e，關於焦點F的準線L為x＝d，其中d＝a/e

PF＝e×d(P,L)＝e×(d－x)＝ed－ex＝a－cx/a＝a－ex

類似地，PF’＝a＋ex

【例題2】

令橢圓Γ：x²/a²＋y²/b²＝1（a＞b），F是其中一個焦點；若P、Q、R都在Γ上，且PF、QF、RF是等差數列，
試證：P、Q、R三點的x座標也成等差。

【證明】

設P、Q、R三點的x座標分別為p、q、r，由例題1知
PF＝a－ep，QF＝a－eq，RF＝a－er，

PF、QF、RF是等差數列＝＞ 2(a－eq)＝(a－ep)＋(a－er)

2q＝p＋r ＝＞ p、q、r是等差數列

學生應該將上面兩個例題用原來的方式做一遍。