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這件事聽來非常奇怪，但是且看如下的論證
在△ABC中，作∠BAC的平分線，以及BC的中垂線，兩線交於P；從P作AC和AB的垂線，垂足分別為E、F。
如果畫出來的圖是這樣
那麼△APF≡△APE
以及△BPF≡△CPE
就有AF=AE且BF=CE
於是AB=AF+FB=AE+EC=AC
同理AB=BC
故△ABC為正三角形
這個結果當然是錯誤的
但因為前面論證完全無誤，所以錯誤的原因不容易發現
重新考察我們所作的事：
我們作的是∠BAC的平分線，以及BC的中垂線
如果AB=AC
那麼這兩條線是同一條
P點就有無限多可能
在此情況下推回AB=AC是當然的
但是若AB≠AC
這兩條線必不平行(想想為什麼？)
會有一個交點P
P會在三角形外部(再想想為什麼？)
再來是垂足E、F的位置應該是一在邊上一在邊的延長線上
假設AB＞AC
就是F在線段AB上而E在AC的延長線上，如圖所示
於是知道AB=AF+FB
但是AC=AE－EC
所以並不會相等
事實上P在△ABC的外接圓上
理由是若∠BAC的平分線和△ABC的外接圓交於P
那麼弧PB=弧PC
弦PB=弦PC
故P在BC的中垂線上
於是由西摩松(Simson)定理
(即△ABC的外接圓上任一點向三邊作垂線，三個垂足會共線，稱為西摩松線)
知D、E、F共線
而D是BC中點
那麼E、F不可能都在AB、AC上或是都在外部
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