題目:已知一拋物線與x+3y4切於(40);
5x+3y=-16切於(4,-12

求此拋物線方程式。


 


看完題目後先思考要如何處理......................................


 


 


 


 


 


 


 


 



解:


法一:硬作吧!
設二次曲線為Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0….(1)
滿足上列條件
隱微分得dy/dx=-(Ax+By+D)/(Bx+Cy+E)……….(2)
則有
16A+8D+F=0……………………………………..(3)
16A-96B+144C+8D-24E+F=0…………………....(4)
-(4A+D)/(4B+E)=-1/3…………………………….(5)
-(4A-12B+D)/(4B-12C+E)=-5/3……………….....(6)
B2-AC=0……………………………………….….(7)
(3)(4)式重新整理成
12A-4B+3D-E=0……………………………..…...(5)’
12A-56B+60C+3D-5E=0…………………………(6)’
整理(3)(4)式得
4B-6C+E=0………………………………………..(8)
整理(5)’(6)’式得
13B-15C+E=0……………………………………...(9)
(9)-(8)

9B-9C=0
C=B……………………………………………….(10)
代入(7)  B2-AB=0 => B(B-A)=0
CASE
1B=0
求得C=0E=0D=4AF=16A
(1)式
x2-8x+16=0
但是此為退化成直線 x-4=0
並非所求之解
CASE2
B=A
求得 C=AE=2AD=-2AF=0
(1)式
x2+2xy+y2-4x+4y=0
此為所要之解


 



法二:照著幾何作圖法
參考兩切線兩切點作拋物線


L1x+3y4L25x+3y=-16A40)、B4,-12
交點為C(-53);AB中點為D4,-6
直線CD的斜率為 -1
A平行CD的直線為
x+y=4
對稱L1後為
x-7y=4
B平行CD的直線為
x+y=-8
對稱L1後為
23x+7y=8
於是焦點F1/2,-1/2

H
(x-4)2+y2=25/2x+y=4的交點
解得取H3/25/2
所以準線為x-y+1=0
由定義可得拋物線方程式為

x2+2xy+y2-4x+4y=0


 


這方法還是太麻煩了


 



法三:
假設二次曲線(x+3y-4)(5x+3y+16)+k(x-4)2=0
可以知道它和x+3y4僅交於(40);

5x+3y=-16僅交於(4,-12
整理得(5+k)x2+18xy+9y2-(4+8k)x+36y-64+16k=0
要為拋物線=>判別式為0

81-9(5+k)=0
k=4
9x2+18xy+9y2-36x+36y=0
x2+2xy+y2-4x+4y=0


 


討論:
1.若是給的數據很差,硬作大概會瘋掉!
2.應該還可以用比例作圖的方式來求方程式,但我還沒發展好。
3.硬作法中退化的解是過兩切點的直線,這讓我有解法三的想法,這也可以發展成給定兩切線和兩切點以及第五個條件的問題的一般處理方法。




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