老王的夢田

作一直線同時平分給定的三角形周長和面積

給定一個三角形，是否能作一直線同時平分它的周長和面積？

既然要平分周長，又要平分面積，代數化或許是個好方法。

假設所作直線與AB交於X，與AC交於Y，滿足問題；那麼假設
AX＝x，AY＝y，就有
x＋y＝(a＋b＋c)/2………………………（1）
xy/bc＝1/2 ＝＞ xy＝bc/2………………（2）

馬上就可以發現x，y是二次方程式
t²－[(a＋b＋c)/2]t＋(bc/2)＝0 或是寫成 2t²－(a＋b＋c)t＋bc＝0的兩根。

判別式D＝(a＋b＋c)²－8bc＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac－6bc

然而D不一定是正值，舉例來說，假設我們最常用的3、4、5好了，
若b＝4，c＝5，那麼D＝144－160＝－16＜0，沒有實數解。

可是還有一種情況，如果取b＝3，c＝4，那麼解為3＋√3與3－√3，但是3＋√3比3或4都大，這樣子也是無解才對。

所以應該討論解的存在性。

先定義一些式子：，
若此線與角A兩邊相交，解為2t²－(a＋b＋c)t＋bc＝0…………………（3）
的兩根，其判別式
D_A＝(a＋b＋c)²－8bc＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac－6bc…………………（4）

若此線與角B兩邊相交，解為2t²－(a＋b＋c)t＋ac＝0…………………（5）
的兩根，其判別式
D_B＝(a＋b＋c)²－8ac＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc－6ac…………………（6）

若此線與角C兩邊相交，解為2t²－(a＋b＋c)t＋ab＝0…………………（7）
的兩根，其判別式
D_C＝(a＋b＋c)²－8ab＝a²＋b²＋c²＋2bc＋2ac－6ab…………………（8）

不失一般性我們假設a≦b≦c

而有ab≦ac≦bc

所以D_A≦D_B≦D_C

又D_A＋D_B＝2(a²＋b²＋c²＋2ab－2ac－2bc)＝(b＋c－a)²＞0

所以D_B必然是正數，於是D_C也是正數。意思是（5）（7）兩式必有解，但（3）式就不一定。因此我們分開討論：

＜1＞（7）式的解還必須滿足

[(a＋b＋c)＋√D_C]/4≦b
√D_C≦3b－a－c

若3b－a－c＜0必然無解；
若3b－a－c＞0，兩邊平方得
a²＋b²＋c²＋2bc＋2ac－6ab≦a²＋ 9b²＋c²－6bc＋2ac－6ab
8b(b－c)≧0

所以只有在b＝c的時候才會成立，也就是對於非等腰的三角形，此線要過較小兩邊必然無解。

＜2＞（5）式的解還必須滿足

[(a＋b＋c)＋√D_B]/4≦c
√D_B≦3c－b－a

因為3c－b－c必然為正數，兩邊平方得
a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc－6ac≦a²＋ b²＋9c²＋2ab－6bc－6ac
8c (c－b)≧0，一定成立。

還要檢查[(a＋b＋c)－√D_B]/4≦a
b＋c－3a≦√D_B
若b＋c－3a＜0，必然有解；
若b＋c－3a≧0，兩邊平方得
9a²＋ b²＋c²－6ab＋2bc－6ac≦a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc－6ac
8a (b－a)≧0，一定成立。

由上面的討論知道，這種情況至少有一解。

＜3＞（3）式若有解，條件為D_A≧0

檢查[(a＋b＋c)＋√D_A]/4≦c
a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac－6bc≦a²＋ b²＋9c²＋2ab－6bc－6ac
8c (c－a)≧0，一定成立。

還有[(a＋b＋c)－√D_A]/4≦b
若a＋c－3b＜0，必然有解；
若a＋c－3b≧0，兩邊平方得
a²＋ 9b²＋c²－6bc＋2ac－6ab≦a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac－6bc
8b(a－b)≧0，僅在a＝b時成立

綜上討論，對於非等腰三角形，此種情況要有解，條件為D_A≧0，且a＋c－3b＜0。

再就一些特殊情況討論：

若是非正三角形的等腰三角形，假設為a、b、b，方程式為
x＋y＝(a＋b＋b)/2＝(a/2)＋b
xy＝ab/2＝(a/2)＋b

解顯然是(a/2，b)或(b，a/2)
當a＜b，僅有一解，即底邊的高；
當a＞b，除底邊的高外，還有兩解。

由上討論可知，對於正三角形，恰有三個解，即三邊的高。

可是注意到，這是二次方程式的解，也就是若是有解的情況，這個解是可以尺規作出來的。作法如下：

第一步，
先找到表示x＋y的線段。作出∠B的傍切圓，D、E、F是切點，那麼
AD＝AF，BE＝BF，CE＝CD
BE＋BF＝BA＋AF＋BC＋CE＝BA＋AD＋BC＋CD＝AB＋BC＋AC
故BF＝(AB＋BC＋AC)/2

第二步，
將BF分成兩段，使這兩段的乘積為BC×BA/2。

要找出一段長度m，使得m²＝BC×BA/2。

取BC中點M，並在BA的反向射線上找BN＝BM，
以AN為直徑作半圓，
過B作AN的垂線交半圓於G，BG即為所求m。

第三步，
以BF為直徑作半圓，
過G作AN的平行線交半圓於H和I
分別過H和I作BF的垂線，垂足為J和K
那麼BJ和JF以及BK和KF為所求(BJ＝KF，JF＝BK)
最後在BC上取BL＝BJ，連接LK即為所求。