老王的夢田

幾何定值問題

段考最後一題，如我所料，沒幾個人寫對。而且一定也會有人質問：為什麼我這樣寫不行？

我的回答是：幾何定值問題，是要在一些變動的情況下，找到其中不變的東西。你必須做兩件事：第一，找到這個不變的東西；第二，證明所有變動情形下，他的確是不變的。所以只有「說明」是不夠的，而你們（尤其是某些人）只會亂亂說，而不會用數學符號進行證明。

【題目】

設L是與圓O不相交的一條直線，過L上任一點A作圓O的兩條切線，切點分別為E、F。試證：
直線EF必過一個定點。

【證明】

既然要過一個定點，點是兩線相交的產物，所以就先找兩條直線求出交點，再去證明其他的直線也都過這個點就好了。

以上所言，是當你從沒見過這樣的問題，第一次見到時，可能做的思考（如果你連這些都想不到，表示你的幾何訓練太貧乏了）。

教程上面的分析法算是滿有經驗的方式，由對稱性看出這個點必然在圓心到L的垂線上；再找一條特殊直線，把這個點找到；最後證明其他線也通過這個點的方式是計算其他直線與垂線交點到圓心距離不變。

至於詳細證明，先不寫，因為這個在我既定要PO的文章之中，但前面還有一些東西要先講。所以是預告：極點和極直線。