老王的夢田

前幾天有人在知識+問個問題：

如何將邊長5及12的正三角形，切割組合成為邊長13的正三角形？

第一位回答者敘述不明確，而發問者給的時間很短，馬上進入棄題投票。

這個問題引起我的興趣，因為如果是正方形，做法非常簡單，而且對於一般的問題解法都一樣。也就是我有興趣的不只是邊長5和12，對於一般的正數a和b，必然存在第三個正三角形，其面積為兩個小正三角形面積和，只是該如何切割重組呢？

先解決邊長5和12的問題。

我的作法很簡單，只要把邊長5的正三角形按照五等分切開，就可以重新組合成一個上下底為12和13，腰長為1的等腰梯形，擺在邊長12的正三角形下方，就組合成邊長13的正三角形。

再看一般的情況，對於給定正數a和b，不妨假設a≦b，並假設正數c滿足
c²＝a²＋b²，
那麼我們的目標就是組合出邊長為c的正三角形。如果照著上面的作法，能否將邊長a的正三角形按照a/(c－b)等分切開呢？如果這是正整數，沒問題；但是隨便舉例如a＝1，b＝2，c是√5，就不行了。

所以這個方法不能推廣，於是想要模仿正方形的作法。但是兩個正三角形接在一起，邊對邊的話，角度會是120度，沒有辦法造出直角三角形。不過將其中一個先切一半，角度變成30度，加上60度就是直角了。於是將小正三角形等分成兩半，拼成一個頂角120度的等腰三角形，把30度角和大正三角形拼接在一起後，再就邊長關係分成：

（1）    a＝b/√3
此時等腰三角形的底邊和大正三角形邊長相同，只要再把大正三角形也對分成兩份，就可以拼成所要的正三角形了。

（2）    a＜b/√3
如圖，把三角形ABD旋轉60度成三角形ACK，那麼△ADK為正三角形，
此時∠DEC＝150°，∠KCE＝60°＋90°＝150°，所以DE//CK；
又CK＝BD＝DE，故DEKC為平行四邊形，連接DK交CE於G，
那麼△KCG@△DEG，就可以知道，將△KCG切下來可以拼成△DEG，
至此就完成正三角形ADK