老王的夢田

Polya 問題

【已知】三角形ABC

【求作】AB上一點D，以及AC上一點E，使得BD＝DE＝EC

【作法一】

1.        不失一般性假設AB≧AC，在AB上取BP＝AC。

2.        作△ABC的內心I。

3.        作△BIC的外接圓。

4.        過P作AI的平行線，交圓於Q。

5.        分別作射線BQ和CQ，與AC和AB交於E和D，則D、E為所求。

【證明】

這個作法，首先是觀察出下面的命題：

在△ABC中，M在AB上、N在AC上，且BM＝CN；則BN和CM的交點軌跡在平行於∠BAC平分線的直線上。而且反之亦然。

證明另外再寫。

接著算出∠BQC＝∠BIC：

∠BQC＝∠A＋∠ABE＋∠ACD，又∠BQC＋∠ABE＋∠ACD＝180°

故∠BQC＝90°＋(1/2)∠A＝∠BIC

於是先找出Q點，進而得到解。

【作法二】（縮放法或是比例法）

1.        先在AB上取X與AC上取Y，使得BX＝CY。

2.        以X為圓心XB為半徑作圓。

3.        過Y作BC的平行線交圓於Z。

4.        作直線BZ交AC於E。

5.        過E作XZ的平行線交AB於D，則D、E為所求。

【證明】

過Z作BC的平行線交AC於K，ZYCK為平行四邊形，ZK＝YC＝XB。

CE：ZK＝BE：BZ＝DE：XZ＝BD：XB，因為ZK＝XB＝XZ，所以CE＝DE＝BD。