老王的夢田

三邊成等差的性質

三角形ABC中，若2BC＝AB＋AC，記重心為G，內心為I，AB和AC的中點分別為D和E。那麼有

1.          GI//BC

2.          ID＝IE＝AI/2

3.          A、D、I、E四點共圓，且GI為此圓的切線

4.          令ABC的外心為O，那麼AO是圓ADE的直徑

【證明】

1.          延長AI交BC於F，那麼BF：CF＝AB：AC，
所以BF＝BC×AB/(AB+AC)＝BC×AB/2BC＝AB/2
AI：IF＝AB：BF＝2：1
延長AG交BC於M，那麼M是BC中點，而且AG：GM＝2：1
故GI//BC

2.          在三角形BID和BIF中，
∠DBI＝∠FBI，BF＝AB/2＝BD，BI＝BI，
故△BID @ △BIF(SAS)
ID＝IF
同理IE＝IF
故ID＝IE＝AI/2

3.          作三角形ABC的外接圓，延長AI和圓交於H，
連接HC、IC，
∠HCI＝∠BCH＋∠BCI＝∠BAH＋∠ACI＝∠CAH＋∠ACI＝∠HIC
故HC＝IH；

在三角形ABF和AHC中，
∠ABF＝∠AHC，∠BAF＝∠HAC，
故AB：AH＝BF：HC
所以AH：IH＝AB：BF＝AI：IF
（註：以上兩個性質對所有三角形都成立）

於是AH：IH＝2：1＝AC：CE
IE//HC
∠AIE＝∠AHC＝∠ABC＝∠ADE
故A、D、I、E四點共圓；
假設此圓圓心為K，那麼KD＝KE，ID＝IE，
故KI⊥DE；
而GI//BC//DE，
故GI⊥KI，即GI是圓K過I的切線。

4.          顯然圓K是以A為中心，將圓O縮小為二分之一的圓，
那麼K就是AO的中點，
故AO為圓K的直徑。