老王的夢田

西姆松(Simson)線(定理)及其逆定理：

過△ABC外接圓上一點P分別向三邊BC、CA、AB所在直線做垂線，設垂足為D、E、F，則D、E、F三點共線。

證明：(1) P,A,B,C四點共圓，
∴∠PAF＝∠PCD

(2) 連接CP，P、D、C、E四點共圓，
∴∠PED＝∠PCD

(3) 連接AP，P,A,F,E四點共圓，
∴∠PEF＋∠PAF＝180°

(4) 故∠PEF＋∠PED＝∠PEF＋∠PCD
＝∠PEF＋∠PAF＝180°
D、E、F三點共線。

逆定理用上述過程反推即可。

思考：1.什麼樣的點以BC為他的西姆松線？
2.是否有點落在他本身的西姆松線上？

【例題1】

圓內接四邊形ABCD滿足∠ADC＝90°，從B作直線AC的垂線，垂足為M；從B作直線AD的垂線，垂足為N，直線MN交BD於P，
試證：P為BD中點。

【證明】

過B作直線CD的垂線，垂足為K，

由西姆松定理得到M、N、K共線；

於是BKDN為矩形，對角線互相平分，

故P為BD中點。

【例題2】

設P是△ABC外接圓上的一點，P到直線BC、CA、AB的垂足分別為D、E、F。
試證：DE＝EF若且唯若AP/PC＝AB/BC。

【證明】

(＝＞)

由西姆松定理得到D、E、F共線，

AEPF共圓，有

AP＝EF/sin∠EPF＝EF/sin∠BAC

CPED共圓，有

PC＝DE/sin∠ACB

AP/PC＝sin∠ACB/sin∠ABC＝AB/AC

逆命題反推即得。